2021年考研数学三第4题

已知第一个等式为 $f(x+1, e^x) = x(x+1)^2$。为了求出 $f'_1(1,1)$ 与 $f'_2(1,1)$ 的关系，我们对等式两边关于 $x$ 求导。 左边是复合函数 $f(u,v)$，其中 $u = x+1$，$v = e^x$。根据链式法则，左边对 $x$ 的导数为： $$ \frac{d}{dx} f(x+1, e^x) = f'_1(x+1, e^x) \cdot \frac{d}{dx}(x+1) + f'_2(x+1, e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = f'_1(x+1, e^x) \cdot 1 + f'_2(x+1, e^x) \cdot e^x. $$ 这里 $f'_1$ 表示 $f$ 对第一个变量的偏导数，$f'_2$ 表示 $f$ 对第二个变量的偏导数。 右边 $x(x+1)^2$ 对 $x$ 求导，使用乘积法则： $$ \frac{d}{dx} \left[ x(x+1)^2 \right] = (x+1)^2 + x \cdot 2(x+1) \cdot 1 = (x+1)^2 + 2x(x+1). $$ 因此求导后得到等式： $$ f'_1(x+1, e^x) + e^x f'_2(x+1, e^x) = (x+1)^2 + 2x(x+1). $$ 现在代入 $x=0$。此时 $x+1 = 1$，$e^x = e^0 = 1$，所以左边变为 $f'_1(1,1) + 1 \cdot f'_2(1,1) = f'_1(1,1) + f'_2(1,1)$。右边代入 $x=0$ 得 $(0+1)^2 + 2 \cdot 0 \cdot (0+1) = 1 + 0 = 1$。 于是得到关系式： $$ f'_1(1,1) + f'_2(1,1) = 1. $$ 这个关系将在后续步骤中与另一个等式联立，以解出 $f'_1(1,1)$ 和 $f'_2(1,1)$ 的具体数值。

已知第二个条件为 $f(x, x^2) = 2x^2 \ln x$。这是一个关于 $x$ 的恒等式，因此两边对 $x$ 求导。左边是复合函数 $f(u, v)$，其中 $u = x$，$v = x^2$。利用链式法则，左边导数为： $$\frac{d}{dx} f(x, x^2) = f_1'(x, x^2) \cdot \frac{du}{dx} + f_2'(x, x^2) \cdot \frac{dv}{dx} = f_1'(x, x^2) \cdot 1 + f_2'(x, x^2) \cdot 2x.$$ 右边 $2x^2 \ln x$ 的导数为： $$\frac{d}{dx}(2x^2 \ln x) = 2 \cdot 2x \cdot \ln x + 2x^2 \cdot \frac{1}{x} = 4x \ln x + 2x.$$ 因此得到等式： $$f_1'(x, x^2) + 2x \cdot f_2'(x, x^2) = 4x \ln x + 2x.$$ 现在代入 $x = 1$。注意 $x=1$ 时，$x^2 = 1$，所以 $f_1'(1, 1) + 2 \cdot 1 \cdot f_2'(1, 1) = 4 \cdot 1 \cdot \ln 1 + 2 \cdot 1$。由于 $\ln 1 = 0$，右边为 $0 + 2 = 2$。于是得到： $$f_1'(1, 1) + 2 f_2'(1, 1) = 2.$$ 此式即为本步骤的关键结果。

根据前两步得到的两个方程： $$f_1'(1,1) + f_2'(1,1) = 1 \quad \text{(1)}$$ $$f_1'(1,1) + 2f_2'(1,1) = 2 \quad \text{(2)}$$ 我们采用消元法求解。用方程(2)减去方程(1)： $$[f_1'(1,1) + 2f_2'(1,1)] - [f_1'(1,1) + f_2'(1,1)] = 2 - 1$$ 化简得： $$f_2'(1,1) = 1$$ 将 $f_2'(1,1)=1$ 代入方程(1)： $$f_1'(1,1) + 1 = 1$$ 解得： $$f_1'(1,1) = 0$$ 因此，所求偏导数为： $$f_1'(1,1) = 0, \quad f_2'(1,1) = 1$$ 这一结果将用于下一步计算全微分或进一步求导。

由前几步已知，函数 $f(x,y)$ 在点 $(1,1)$ 处的两个一阶偏导数值分别为： $$f'_x(1,1)=0,\quad f'_y(1,1)=1.$$ 根据全微分的定义，二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的全微分公式为： $$\mathrm{d}f(x_0,y_0)=f'_x(x_0,y_0)\mathrm{d}x+f'_y(x_0,y_0)\mathrm{d}y.$$ 将 $(x_0,y_0)=(1,1)$ 以及已求得的偏导数值代入，得到： $$\mathrm{d}f(1,1)=0\cdot\mathrm{d}x+1\cdot\mathrm{d}y=\mathrm{d}y.$$ 因此，函数 $f(x,y)$ 在点 $(1,1)$ 处的全微分等于 $\mathrm{d}y$。对照题目所给的四个选项： (A) $\mathrm{d}x+\mathrm{d}y$ (B) $\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$ (C) $\mathrm{d}y$ (D) $-\mathrm{d}y$ 显然，选项 (C) 与计算结果一致。 最终答案验证：全微分 $\mathrm{d}f(1,1)=\mathrm{d}y$ 表明在点 $(1,1)$ 附近，函数值的变化主要依赖于 $y$ 的变化，而 $x$ 的变化对函数值的影响为一阶小量（因为 $f'_x(1,1)=0$）。该结果与题目中隐含的条件完全吻合，故选择 (C)。