2021年考研数学三第5题

选择题 · 5分

📝 题目

二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}-\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）。

A
2,0
B
1,1
C
2,1
D
1,2

💡 答案解析

---

**解析**:

（B）

法 1：$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$

$$ \begin{aligned} & =2\left(x_{2}+\frac{x_{1}+x_{3}}{2}\right)^{2}-\frac{\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}}{2}+2 x_{1} x_{3} \\ & =2\left(x_{2}+\frac{x_{1}+x_{3}}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2} x_{1}^{2}-\frac{1}{2} x_{3}^{2}+x_{1} x_{3} \\ & =2\left(x_{2}+\frac{1}{2} x_{1}+\frac{1}{2} x_{3}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(x_{1}-x_{3}\right)^{2}, \end{aligned} $$

则此二次型的正惯性指数为 1 ，负惯性指数为 1 ，故选（B）

法 2：二次型对应的实对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ， 则 $|A-\lambda E|=\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-\lambda-1 & 0 & 1+\lambda \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda\end{array}\right|$

$$ =(\lambda+1)\left|\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda \end{array}\right|=-\lambda(\lambda+1)(\lambda-3)=0, $$

得 $A$ 的特征值为： $0,-1,3$ ，所以正负惯性指数为 1，1．故选（B）．

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：展开二次型表达式
首先，将二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = (x_1+x_2)^2 + (x_2+x_3)^2 - (x_3-x_1)^2$ 中的三个平方项分别展开。 第一项 $(x_1+x_2)^2$ 展开为 $x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$。 第二项 $(x_2+x_3)^2$ 展开为 $x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2$。 第三项 $-(x_3-x_1)^2$ 注意负号，先展开 $(x_3-x_1)^2 = x_3^2 - 2x_3x_1 + x_1^2$，再取负得 $-x_3^2 + 2x_1x_3 - x_1^2$。 将三个展开结果相加： $$(x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) + (x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2) + (-x_3^2 + 2x_1x_3 - x_1^2)$$ 合并同类项： - $x_1^2$ 项：$x_1^2 - x_1^2 = 0$。 - $x_2^2$ 项：$x_2^2 + x_2^2 = 2x_2^2$。 - $x_3^2$ 项：$x_3^2 - x_3^2 = 0$。 - $x_1x_2$ 项：$2x_1x_2$。 - $x_2x_3$ 项：$2x_2x_3$。 - $x_1x_3$ 项：$2x_1x_3$。 因此，展开并合并后得到 $f(x_1,x_2,x_3) = 2x_2^2 + 2x_1x_2 + 2x_2x_3 + 2x_1x_3$。
公式：$$f(x_1,x_2,x_3) = 2x_2^2 + 2x_1x_2 + 2x_2x_3 + 2x_1x_3$$
提示：注意第三项前面有负号，展开平方后要整体取负，避免符号错误。
步骤 2/3
目标：配方化为标准形
对展开后的二次型进行配方。首先，观察二次型中所有含$x_2$的项：$2x_2^2 + 2x_1x_2 + 2x_2x_3$。将$x_2$视为主变量，其余项视为常数，进行配方。 提取系数2：$2\left[x_2^2 + x_1x_2 + x_2x_3\right]$。 对括号内关于$x_2$的二次项和一次项配方：$x_2^2 + (x_1+x_3)x_2 = \left(x_2 + \frac{x_1+x_3}{2}\right)^2 - \frac{(x_1+x_3)^2}{4}$。 因此，含$x_2$的部分化为： $$2\left(x_2 + \frac{x_1+x_3}{2}\right)^2 - \frac{(x_1+x_3)^2}{2}.$$ 此时，二次型剩余项为$2x_1x_3$（来自原展开式中的$2x_1x_3$）。将配方结果与剩余项合并： $$2\left(x_2 + \frac{x_1+x_3}{2}\right)^2 - \frac{(x_1+x_3)^2}{2} + 2x_1x_3.$$ 接下来，对不含$x_2$的部分进行化简： $$-\frac{(x_1+x_3)^2}{2} + 2x_1x_3 = -\frac{1}{2}(x_1^2 + 2x_1x_3 + x_3^2) + 2x_1x_3 = -\frac{1}{2}x_1^2 - x_1x_3 - \frac{1}{2}x_3^2 + 2x_1x_3 = -\frac{1}{2}x_1^2 + x_1x_3 - \frac{1}{2}x_3^2.$$ 进一步配方： $$-\frac{1}{2}(x_1^2 - 2x_1x_3 + x_3^2) = -\frac{1}{2}(x_1 - x_3)^2.$$ 因此，最终二次型化为： $$2\left(x_2 + \frac{x_1}{2} + \frac{x_3}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}(x_1 - x_3)^2.$$ 这就是配方后的标准形，其中平方项的系数分别为$2$和$-\frac{1}{2}$，表明二次型的秩为2，符号差为0。
公式：$$2\left(x_2 + \frac{x_1}{2} + \frac{x_3}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}(x_1 - x_3)^2$$
提示：配方时先集中含同一变量的项，再逐步处理剩余部分，注意系数提取与符号变化。
步骤 3/3
目标：读取正负惯性指数
在完成二次型的标准形化简后，我们得到标准形为 $f = 2y_1^2 - \frac{1}{2}y_2^2$。该标准形中只包含平方项，没有交叉项，且每个平方项的系数即为该二次型在对应基下的特征值或规范系数。根据惯性定理，二次型的正惯性指数等于标准形中正系数的个数，负惯性指数等于标准形中负系数的个数。 观察标准形中的系数：第一个平方项 $2y_1^2$ 的系数为 $2 > 0$，因此它贡献一个正惯性指数；第二个平方项 $-\frac{1}{2}y_2^2$ 的系数为 $-\frac{1}{2} < 0$，因此它贡献一个负惯性指数。标准形中不存在系数为零的项，所以正系数个数为 $1$，负系数个数为 $1$。 因此，该二次型的正惯性指数为 $p = 1$，负惯性指数为 $q = 1$。符号差为 $p - q = 0$。 最终答案验证：二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 - 4x_1x_2 - 4x_2x_3$ 的矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$，计算其特征值可得一个正特征值和一个负特征值（另一个特征值为零？实际上本题中矩阵满秩，特征值一正一负一零？但标准形中只有两项，说明原二次型是退化的？此处需注意：原二次型是三元二次型，但标准形只出现两个平方项，说明二次型的秩为2，即有一个特征值为0。因此正惯性指数为1，负惯性指数为1，符合题意。
公式：$$f = 2y_1^2 - \frac{1}{2}y_2^2$$
提示：惯性指数只看标准形中系数的正负号，与系数大小无关。

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