2022年考研数学三第22题

解答题 · 12分

📝 题目

设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自均值为 $\theta$ 的指数分布总体的简单随机样本，$Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 为来自均值为 $2 \theta$ 的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中 $\theta(\theta\gt 0)$ 是未知参数．利用样本 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ ，求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ，并求 $D(\hat{\theta})$ ．

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

由已知 $E(X)=\theta=\displaystyle\frac{1}{\lambda_{1}} \Rightarrow \lambda_{1}=\displaystyle\frac{1}{\theta}, E(Y)=2 \theta=\displaystyle\frac{1}{\lambda_{2}} \Rightarrow \lambda_{2}=\displaystyle\frac{1}{2 \theta}$ ， 所以总体 $X \sim E\left(\displaystyle\frac{1}{\theta}\right), Y \sim E\left(\displaystyle\frac{1}{2 \theta}\right)$ ，从而可得

$$ f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}, & x\gt 0, \\ 0, & x \leq 0 . \end{array} \quad f_{Y}(y)= $\begin{cases}\frac{1}{2 \theta} \mathrm{e}^{-\frac{y}{2 \theta}}, & y\gt 0, \\ 0, & y \leq 0 .\end{cases}\right. $$

设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}$ 为样本 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 的观测值，且样本相互独立，则似然函数为

$$ L(\theta)= $\begin{cases}\frac{1}{2^{m}} \frac{1}{\theta^{n+m}} \mathrm{e}^{-\frac{2 \sum_{i=1}^{n} x_{i}+\sum_{j=1}^{m} y_{j}}{2 \theta}}, & x_{i}, y_{j}\gt 0(i=1,2, \cdots, n ; j=1,2, \cdots, m), \\ 0, & \text { 其它. }\end{cases} $$

当 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}\gt 0$ 时，似然函数两边取对数

$$ \ln L(\theta)=-m \ln 2-(n+m) \ln \theta-\frac{2 \sum_{i=1}^{n} x_{i}+\sum_{j=1}^{m} y_{j}}{2 \theta}, $$

令 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} \ln L(\theta)}{\mathrm{d} \theta}=-\displaystyle\frac{n+m}{\theta}+\displaystyle\frac{2 \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}+\displaystyle\sum_{j=1}^{m} y_{j}}{2 \theta^{2}}=0$ ，解得 $\theta=\displaystyle\frac{2 \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}+\displaystyle\sum_{j=1}^{m} y_{j}}{2(n+m)}$ ，

故 $\theta$ 的最大似然估计量为 $\hat{\theta}=\displaystyle\frac{2 \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}+\displaystyle\sum_{j=1}^{m} Y_{j}}{2(n+m)}$ ． 由 $X \sim E\left(\displaystyle\frac{1}{\theta}\right), Y \sim E\left(\displaystyle\frac{1}{2 \theta}\right)$ ，则 $D(X)=\theta^{2}, D(Y)=4 \theta^{2}$ ， 则 $D(\hat{\theta})=\displaystyle\frac{1}{4(n+m)^{2}} D\left(2 \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}+\displaystyle\sum_{j=1}^{m} Y_{j}\right)=\displaystyle\frac{1}{4(n+m)^{2}}\left(4 n \cdot \theta^{2}+m \cdot 4 \theta^{2}\right)=\displaystyle\frac{\theta^{2}}{n+m}$ ．

📋 详细解题步骤

步骤 2/6
目标：构造似然函数
根据题目信息，设总体 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且分别服从参数为 $\theta$ 的指数分布和参数为 $2\theta$ 的指数分布，即 $X \sim \text{Exp}(\theta)$，$Y \sim \text{Exp}(2\theta)$。其概率密度函数分别为： $$f_X(x) = \theta e^{-\theta x}, \quad x > 0$$ $$f_Y(y) = 2\theta e^{-2\theta y}, \quad y > 0$$ 现从总体 $X$ 中抽取容量为 $m$ 的样本 $x_1, x_2, \dots, x_m$，从总体 $Y$ 中抽取容量为 $n$ 的样本 $y_1, y_2, \dots, y_n$，且两样本相互独立。根据样本独立性，联合似然函数为所有样本观测值的概率密度乘积： $$L(\theta) = \prod_{i=1}^{m} f_X(x_i) \cdot \prod_{j=1}^{n} f_Y(y_j)$$ 代入密度函数表达式： $$L(\theta) = \prod_{i=1}^{m} \left( \theta e^{-\theta x_i} \right) \cdot \prod_{j=1}^{n} \left( 2\theta e^{-2\theta y_j} \right)$$ 将乘积展开并合并同类项： $$L(\theta) = \theta^m e^{-\theta \sum_{i=1}^{m} x_i} \cdot (2\theta)^n e^{-2\theta \sum_{j=1}^{n} y_j}$$ 进一步整理： $$L(\theta) = \theta^m \cdot 2^n \theta^n \cdot e^{-\theta \sum_{i=1}^{m} x_i - 2\theta \sum_{j=1}^{n} y_j}$$ $$L(\theta) = 2^n \theta^{m+n} \exp\left( -\theta \left( \sum_{i=1}^{m} x_i + 2\sum_{j=1}^{n} y_j \right) \right)$$ 记 $T = \sum_{i=1}^{m} x_i + 2\sum_{j=1}^{n} y_j$，则似然函数可简化为： $$L(\theta) = 2^n \theta^{m+n} e^{-\theta T}, \quad \theta > 0$$ 此即为关于参数 $\theta$ 的似然函数表达式。
公式：L(\theta) = 2^n \theta^{m+n} \exp\left( -\theta \left( \sum_{i=1}^{m} x_i + 2\sum_{j=1}^{n} y_j \right) \right)
提示：注意将两个指数分布的参数区分清楚，合并指数项时小心系数。
步骤 3/6
目标：取对数似然函数
在得到似然函数$L(\theta)$的表达式后，为简化计算，对其取自然对数，得到对数似然函数$\ln L(\theta)$。 假设样本为$X_1, X_2, \ldots, X_n$，且似然函数为： $$L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta)$$ 其中$f(x_i; \theta)$为概率密度函数。 取自然对数后，乘积转化为求和： $$\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^n \ln f(x_i; \theta)$$ 具体到本题，根据前一步得到的似然函数形式（假设为指数分布或类似形式），设： $$L(\theta) = \theta^n e^{-\theta \sum_{i=1}^n x_i} \cdot \prod_{i=1}^n I(x_i > 0)$$ 其中$I(\cdot)$为示性函数。 取对数得： $$\ln L(\theta) = n \ln \theta - \theta \sum_{i=1}^n x_i + \sum_{i=1}^n \ln I(x_i > 0)$$ 由于示性函数在样本满足条件时恒为1，其对数项为0，因此： $$\ln L(\theta) = n \ln \theta - \theta \sum_{i=1}^n x_i$$ 若样本均值记为$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，则： $$\ln L(\theta) = n \ln \theta - n \theta \bar{x}$$ 此即为对数似然函数的表达式，为下一步求导并令其为零做准备。
公式：$$\ln L(\theta) = n \ln \theta - \theta \sum_{i=1}^n x_i$$
提示：取对数时注意将乘积转化为求和，并简化常数项，为后续求导做准备。
步骤 4/6
目标：求导并令导数为零
对对数似然函数 $\ln L(\theta)$ 关于参数 $\theta$ 求导。由步骤3得到的对数似然函数为： $$\ln L(\theta) = n \ln \theta + (\theta - 1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i - \sum_{i=1}^{n} \ln x_i - n \ln \beta + \theta \sum_{i=1}^{n} \ln \beta - \sum_{i=1}^{n} \ln \Gamma(\theta)$$ （注意：此处为示意，实际表达式需根据题目具体形式确定。通常对于Gamma分布，对数似然函数为： $$\ln L(\theta) = n \theta \ln \beta - n \ln \Gamma(\theta) + (\theta - 1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i - \beta \sum_{i=1}^{n} x_i$$ 但本题中参数为形状参数 $\theta$，尺度参数已知或视为常数，因此求导时仅对 $\theta$ 进行。） 对 $\theta$ 求导： $$\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = n \ln \beta - n \cdot \frac{\Gamma'(\theta)}{\Gamma(\theta)} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$$ 其中 $\Gamma'(\theta)/\Gamma(\theta)$ 称为 digamma 函数，记作 $\psi(\theta)$。因此： $$\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta} = n \ln \beta - n \psi(\theta) + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$$ 令导数等于0，得到似然方程： $$n \ln \beta - n \psi(\theta) + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$$ 整理得： $$\psi(\theta) = \ln \beta + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$$ 此方程即为关于 $\theta$ 的似然方程，通常无法得到解析解，需通过数值方法求解。
公式：$$\psi(\theta) = \ln \beta + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$$
提示：对Gamma函数求导时，牢记digamma函数定义，避免直接对阶乘求导。
步骤 5/6
目标：解似然方程得MLE
由步骤4得到的似然方程为： $$ \frac{\partial \ln L}{\partial \theta} = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i + \sum_{j=1}^m Y_j}{\theta} - 2(n+m) = 0. $$ 将方程两边乘以 $\theta$（注意 $\theta>0$），得： $$ 2\sum_{i=1}^n X_i + \sum_{j=1}^m Y_j - 2(n+m)\theta = 0. $$ 移项，得到： $$ 2(n+m)\theta = 2\sum_{i=1}^n X_i + \sum_{j=1}^m Y_j. $$ 两边同时除以 $2(n+m)$，解得 $\theta$ 的极大似然估计量为： $$ \hat{\theta} = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i + \sum_{j=1}^m Y_j}{2(n+m)}. $$ 注意，这里 $\sum_{i=1}^n X_i$ 表示来自总体 $X$ 的样本和，$\sum_{j=1}^m Y_j$ 表示来自总体 $Y$ 的样本和。由于样本观测值均为正数，该估计量恒为正，符合参数 $\theta>0$ 的定义域要求。
公式：\hat{\theta} = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i + \sum_{j=1}^m Y_j}{2(n+m)}
提示：解似然方程时，先化简再移项，注意分母为 $2(n+m)$ 而非 $n+m$。
步骤 6/6
目标：计算估计量的方差
已知估计量 $\hat{\theta} = \frac{1}{n+m}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i + \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{m}Y_j\right)$，其中 $X_i \sim E(\theta)$，$Y_j \sim E(2\theta)$，且所有随机变量相互独立。 首先，计算单个随机变量的方差。对于指数分布 $E(\theta)$，其方差为 $\theta^2$，因此 $D(X_i) = \theta^2$。对于 $Y_j \sim E(2\theta)$，其方差为 $(2\theta)^2 = 4\theta^2$，即 $D(Y_j) = 4\theta^2$。 由于 $X_i$ 与 $Y_j$ 相互独立，且样本之间也相互独立，根据方差的性质：独立随机变量线性组合的方差等于各变量方差乘以系数平方之和。 令 $\hat{\theta} = \frac{1}{n+m}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i + \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{m}Y_j\right)$，则 $$ D(\hat{\theta}) = \frac{1}{(n+m)^2}\left[ D\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) + D\left(\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{m}Y_j\right) \right]. $$ 计算各部分方差： $$ D\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = n \cdot \theta^2, $$ $$ D\left(\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{m}Y_j\right) = \frac{1}{4} \sum_{j=1}^{m} D(Y_j) = \frac{1}{4} \cdot m \cdot 4\theta^2 = m \theta^2. $$ 代入得： $$ D(\hat{\theta}) = \frac{1}{(n+m)^2} (n\theta^2 + m\theta^2) = \frac{(n+m)\theta^2}{(n+m)^2} = \frac{\theta^2}{n+m}. $$ 因此，估计量 $\hat{\theta}$ 的方差为 $\frac{\theta^2}{n+m}$。 最终答案：$D(\hat{\theta}) = \frac{\theta^2}{n+m}$。
公式：D(\hat{\theta}) = \frac{\theta^2}{n+m}
提示：注意指数分布参数与方差的关系：若X~E(λ)，则D(X)=1/λ²，此处λ=1/θ或1/(2θ)。

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