当 $x \to 0$ 时，$\alpha(x), \beta(x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题： （1）若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ （2）若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ，则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ （3）若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$ （4）若 $\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$ ，则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ 其中正确的序号是
已知 $a_n=\sqrt[n]{n}-\displaystyle\frac{(-1)^n}{n}(n=1,2,\ldots)$ ，则 $\{a_n\}$
设函数 $F(x, y)=\displaystyle\int_0^{x-y}(x-y-t) f(t) dt$ ，则
已知 $I_1=\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{x}{2(1+\cos x)} dx, I_2=\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{\ln(1+x)}{1+\cos x} dx, I_3=\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{2x}{1+\sin x} dx$ ，则
设 $A$ 为 3 阶矩阵，$\L\lambda=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 特征值为 $1,-1,0$ 的充分必要条件是；
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2}\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)$ ，则线性方程组 $A x=b$ 解的情况为（
设 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ \lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ \lambda\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right)$ ．若向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 与 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是（ ）
设随机变量 $X \sim N(0,4)$ ，随机变量 $Y \sim B\left(3, \displaystyle\frac{1}{3}\right)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 不相关，则 $D(X-3 Y+1)=$（）
设随机变量序列 $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, \ldots$ 独立同分布，且 $X_{1}$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-|x|,|x|\lt 1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} X_{j}^{2}$ 依概率收敛于（
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布
| $X \sim Y$ | 0 | 1 | 2 |
| -1 | 0.1 | 0.1 | $b$ |
| 1 | $a$ | 0.1 | 0.1 |
若事件 $\{\max \{X, Y\}=2\}$ 与事件 $\{\min \{X, Y\}=1\}$ 相互独立，则 $\operatorname{Cov}(X, Y)=\{$
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1+e^{x}}{2}\right)^{\cot x}=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{2 x-4}{x^{2}+2 x+4} d x=$ $\_\_\_\_$ ．
已知函数 $f(x)=e^{\mathrm{in} x}+e^{-\mathrm{sin} x}$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(2 \pi)=$ $\_\_\_\_$ ．
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{x}, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$ ，则 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} d x \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) f(y-x) d y=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $A$ 为 3 阶矩阵，交换 $A$ 的第 2 行和第 3 行，再将第 2 列的 -1 倍加到第 1 列，得到矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^{-1}$ 的迹tr $\left(A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $A, B, C$ 为随机事件，且 $A$ 与 $B$ 互不相容，$A$ 与 $C$ 互不相容，$B$ 与 $C$ 相互独立， $P(A)=P(B)=P(C)=\displaystyle\frac{1}{3}$ ，则 $P(B \cup C \mid A \cup B \cup C)=$ $\_\_\_\_$ ．
（本题满分 10 分） 设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime}+\displaystyle\frac{1}{2 \sqrt{x}} y=2+\sqrt{x}$ 满足条件 $y(1)=3$ 的解，求曲线 $y=y(x)$ 的渐近线．
（本题满分 12 分） 设某产品的产量 $Q$ 由资本投入量 $x$ 和劳动投入量 $y$ 决定，生产函数为 $Q=12 x^{\displaystyle\frac{1}{2}} y^{\displaystyle\frac{1}{5}}$ ，该产品的销售单价 $P$ 与 $Q$ 的关系为 $P=1160-1.5 Q$ ，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为 6 和 8 ，求利润最大时的产量
（本题满分 12 分） 已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid y-2 \leq x \leq \sqrt{4-y^{2}}, 0 \leq y \leq 2\right\}$ ，计算 $I=\iint_{D} \displaystyle\frac{(x-y)^{2}}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（本题满分 12 分） 求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\frac{(-4)^{n}+1}{4^{n}(2 n+1)} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数 $S(x)$ ．
（本题满分 12 分） 已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=3 x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}$ ， （1）求正交变换 $x=Q y$ 将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准型； （2）证明： $\min \displaystyle\frac{f(x)}{x^{T} x}=2$ ．
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自均值为 $\theta$ 的指数分布总体的简单随机样本，$Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 为来自均值为 $2 \theta$ 的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中 $\theta(\theta\gt 0)$ 是未知参数．利用样本 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ ，求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ，并求 $D(\hat{\theta})$ ．