📋 详细解题步骤
目标：建立矩阵方程
设原矩阵为$A$，经过行交换和列变换后得到已知矩阵$B$。行交换操作可以用左乘初等矩阵$P$表示，列变换操作可以用右乘初等矩阵$Q$表示。因此，整个变换过程对应的矩阵方程为：
$$P A Q = B$$
其中$P$和$Q$均为可逆的初等矩阵（或初等矩阵的乘积）。
具体地，根据题目描述，先进行行交换，再进行列变换。行交换对应的初等矩阵$P$是将单位矩阵$E$的相应两行交换得到的矩阵；列变换对应的初等矩阵$Q$是将单位矩阵$E$的相应两列交换（或进行其他初等列变换）得到的矩阵。
例如，若交换第$i$行与第$j$行，则$P$为将$E$的第$i$行与第$j$行交换后的矩阵；若交换第$k$列与第$l$列，则$Q$为将$E$的第$k$列与第$l$列交换后的矩阵。
因此，本步骤的目标是明确写出这个矩阵方程，为后续求解$A$或验证变换关系奠定基础。
公式：$$P A Q = B$$
提示：牢记左乘行变换，右乘列变换，顺序不可颠倒。
目标：写出初等矩阵P和Q
根据题目条件，我们需要写出两个初等矩阵$P$和$Q$。
首先，$P$是交换第2行和第3行的初等矩阵。对于一个$3\times 3$的单位矩阵$I_3$，交换其第2行和第3行得到：
$$P = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}$$
该矩阵左乘任意$3\times 3$矩阵$A$时，$PA$的效果就是交换$A$的第2行和第3行。
其次，$Q$是将第2列的$-1$倍加到第1列的初等矩阵。对于$3\times 3$的单位矩阵$I_3$，将第2列的$-1$倍加到第1列，相当于在单位矩阵的第1列第2行位置添加元素$-1$（因为列变换对应右乘初等矩阵，且初等矩阵由单位矩阵经相同列变换得到）：
$$Q = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
该矩阵右乘任意$3\times 3$矩阵$A$时，$AQ$的效果就是将$A$的第2列的$-1$倍加到第1列。
因此，所求的初等矩阵为：
$$P = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix},\quad Q = \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$
公式：P = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix},\quad Q = \begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
提示：左乘行变换，右乘列变换；交换行对应单位矩阵交换行，列加法对应单位矩阵相应位置添加倍数。
目标：解出矩阵A
由已知条件 $PAQ = B$，且 $P$ 和 $Q$ 均为可逆矩阵，可得 $A = P^{-1} B Q^{-1}$。因此，我们需要先求出 $P^{-1}$ 和 $Q^{-1}$，再代入 $B$ 计算 $A$。
首先求 $P^{-1}$。设 $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，这是一个下三角初等矩阵，其逆矩阵只需将非对角元取相反数：$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
其次求 $Q^{-1}$。设 $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，这是一个上三角初等矩阵，其逆矩阵同样将非对角元取相反数：$Q^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
已知 $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。现在计算 $A = P^{-1} B Q^{-1}$。
先计算 $P^{-1} B$：
$$P^{-1} B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
再右乘 $Q^{-1}$：
$$A = (P^{-1} B) Q^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
因此，矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：A = P^{-1} B Q^{-1}
提示：初等矩阵的逆只需将非对角元取相反数，注意乘法顺序不可交换。
目标：计算A的逆矩阵
由前一步骤已求得矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。现计算其逆矩阵 $A^{-1}$。
方法一：利用伴随矩阵法。首先计算行列式 $|A|$：
$$
|A| = 1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix} - 2\cdot\begin{vmatrix}0&1\\1&1\end{vmatrix} + (-1)\cdot\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix} = 1\cdot1 - 2\cdot(-1) -1\cdot(-1) = 1+2+1=4.
$$
计算各元素的代数余子式：
$A_{11} = +\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1$，$A_{12} = -\begin{vmatrix}0&1\\1&1\end{vmatrix}=1$，$A_{13} = +\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1$；
$A_{21} = -\begin{vmatrix}2&-1\\0&1\end{vmatrix}=-2$，$A_{22} = +\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=2$，$A_{23} = -\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}=2$；
$A_{31} = +\begin{vmatrix}2&-1\\1&1\end{vmatrix}=3$，$A_{32} = -\begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}=-1$，$A_{33} = +\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1$。
伴随矩阵 $A^* = (A_{ji})$，即转置排列：
$$
A^* = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
$$
因此逆矩阵为：
$$
A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.
$$
方法二（验证）：可用初等行变换 $(A|I) \rightarrow (I|A^{-1})$ 验证结果一致。
最终得到 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.25 & -0.5 & 0.75 \\ 0.25 & 0.5 & -0.25 \\ -0.25 & 0.5 & 0.25 \end{pmatrix}$。
公式：A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
提示：计算代数余子式时注意符号规则：$(-1)^{i+j}$，并记得将余子式转置得到伴随矩阵。