2022年考研数学三第16题

首先，根据题目条件，事件$A$与$B$互不相容（即互斥），由互不相容的定义可知，$A$与$B$不能同时发生，因此它们的交事件的概率为0，即$P(AB)=0$。同理，事件$A$与$C$互不相容，故$P(AC)=0$。其次，事件$B$与$C$相互独立，由独立性的定义，有$P(BC)=P(B)P(C)$。题目已知$P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$，代入得$P(BC)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$。至此，我们得到了三个关键的概率关系：$P(AB)=0$，$P(AC)=0$，$P(BC)=\frac{1}{9}$。这些关系将在后续步骤中用于计算$P(A\cup B\cup C)$等概率。

根据条件概率的定义，对于事件 $X$ 和 $Y$，在事件 $Y$ 发生的条件下事件 $X$ 发生的概率为 $P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$，其中 $P(Y) > 0$。本题要求计算 $P(B \cup C \mid A \cup B \cup C)$，即事件 $A \cup B \cup C$ 发生的条件下事件 $B \cup C$ 发生的概率。因此，直接代入条件概率公式可得： $$P(B \cup C \mid A \cup B \cup C) = \frac{P[(B \cup C) \cap (A \cup B \cup C)]}{P(A \cup B \cup C)}.$$ 由于 $B \cup C \subseteq A \cup B \cup C$，所以 $(B \cup C) \cap (A \cup B \cup C) = B \cup C$，因此分子可简化为 $P(B \cup C)$。于是公式进一步化为： $$P(B \cup C \mid A \cup B \cup C) = \frac{P(B \cup C)}{P(A \cup B \cup C)}.$$ 接下来需要利用已知概率计算 $P(B \cup C)$ 和 $P(A \cup B \cup C)$。

本步骤的目标是化简条件概率公式中的分子部分。已知条件概率为 $P(A|B \cup C) = \frac{P(A \cap (B \cup C))}{P(B \cup C)}$。由于事件 $A$ 与事件 $B \cup C$ 的关系，我们需要先计算分子 $P(A \cap (B \cup C))$。根据题目条件，事件 $A$、$B$、$C$ 两两独立且概率均为 $\frac{1}{3}$，且 $A \cap B \cap C = \varnothing$。注意到 $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$，且由于 $A \cap B \cap C = \varnothing$，$(A \cap B)$ 与 $(A \cap C)$ 互不相容，因此有： $$P(A \cap (B \cup C)) = P(A \cap B) + P(A \cap C).$$ 由两两独立性，$P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$，同理 $P(A \cap C) = \frac{1}{9}$。所以分子为： $$P(A \cap (B \cup C)) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}.$$ 因此，分子化简结果为 $\frac{2}{9}$。

本步骤的目标是计算事件$A\cup B\cup C$的概率，即分母部分。由于事件$A,B,C$两两互不相容，但题目中给出的条件并非完全互不相容，而是存在部分交集，因此需要使用一般的加法公式。 对于任意三个事件$A,B,C$，有加法公式： $$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).$$ 根据题目条件，已知$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$，$P(AB)=P(AC)=0$，$P(BC)=\frac{1}{9}$。由于$A$与$B$互不相容，$A$与$C$互不相容，但$B$与$C$并非互不相容，因此$A,B,C$三个事件不可能同时发生，即$P(ABC)=0$。 代入上述数值： $$P(A\cup B\cup C)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-0-0-\frac{1}{9}+0=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.$$ 因此，分母化简为$\frac{8}{9}$。

根据条件概率的定义，我们需要计算事件A在事件B发生的条件下的概率，即$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$。在前面的步骤中，我们已经求得： - 事件A与事件B同时发生的概率为$P(A \cap B) = \frac{5}{9}$； - 事件B发生的概率为$P(B) = \frac{8}{9}$。 因此，将分子与分母相除，得到： $$ P(A|B) = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{8}{9}} = \frac{5}{9} \times \frac{9}{8} = \frac{5}{8}. $$ 为了验证结果的合理性，我们可以检查条件概率的基本性质：$0 \leq P(A|B) \leq 1$，这里$\frac{5}{8}=0.625$，满足条件。同时，由于$P(A \cap B) < P(B)$，所以条件概率小于1，结果合理。 最终答案：$\frac{5}{8}$。