2022年考研数学三第14题

原累次积分为 $\int_{-\infty}^{+\infty} dx \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) f(y-x) dy$。注意被积函数 $f(x) f(y-x)$ 中，$f(x)$ 仅依赖于 $x$，$f(y-x)$ 依赖于 $y$ 和 $x$。我们可以将累次积分视为先对 $y$ 积分再对 $x$ 积分，这等价于在整个 $xy$ 平面上的二重积分。具体地，对于固定的 $x$，$y$ 从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 积分，然后 $x$ 从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 积分，因此积分区域是整个平面 $\mathbb{R}^2$。于是原积分可写为二重积分： $$ \iint_{\mathbb{R}^2} f(x) f(y-x) \, dxdy. $$ 为了后续变量替换的方便，我们通常将积分区域记为 $D$，即 $D = \{(x,y) \mid -\infty < x < +\infty, -\infty < y < +\infty\}$。因此， $$ \int_{-\infty}^{+\infty} dx \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) f(y-x) dy = \iint_D f(x) f(y-x) \, dxdy. $$ 这一步只是将累次积分符号改写为二重积分符号，积分区域和积分顺序不变，但为下一步进行变量替换（如令 $u = x, v = y-x$）做好了准备。注意，这里 $f$ 是概率密度函数，满足 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 1$，但本步骤不涉及该性质。

在积分区域 $D$ 上，已知函数 $f(x) = e^x$。因此，对于被积函数中的 $f(x)$，直接代入得 $f(x) = e^x$。对于 $f(y-x)$，由于 $f$ 的定义是 $f(t) = e^t$，将自变量 $t$ 替换为 $y-x$，得到 $f(y-x) = e^{y-x}$。于是，被积函数 $f(x) \cdot f(y-x)$ 变为： $$ f(x) \cdot f(y-x) = e^x \cdot e^{y-x}. $$ 根据指数运算法则 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$，合并指数： $$ e^x \cdot e^{y-x} = e^{x + (y-x)} = e^{y}. $$ 因此，被积函数在区域 $D$ 上化简为 $e^y$。这一简化使得后续积分计算中，被积函数仅依赖于变量 $y$，而与 $x$ 无关，从而可以简化积分次序的选择。

根据积分区域的特点，我们选择先对$y$后对$x$的积分次序。积分区域由直线$y=x$、$y=x+1$以及$x=0$、$x=1$围成，因此二重积分可以表示为： $$ \iint_D e^y \, d\sigma = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x}^{x+1} e^y \, dy \, dx. $$ 首先计算内层积分： $$ \int_{y=x}^{x+1} e^y \, dy = \left[ e^y \right]_{y=x}^{y=x+1} = e^{x+1} - e^x. $$ 这里利用了指数函数$e^y$的原函数就是它本身的性质。于是原二重积分化为： $$ \int_{0}^{1} (e^{x+1} - e^x) \, dx. $$ 接下来计算这个定积分： $$ \int_{0}^{1} e^{x+1} \, dx - \int_{0}^{1} e^x \, dx = \left[ e^{x+1} \right]_{0}^{1} - \left[ e^x \right]_{0}^{1} = (e^{2} - e^{1}) - (e^{1} - e^{0}) = e^{2} - e - e + 1 = e^{2} - 2e + 1. $$ 因此，二重积分的值为$e^{2} - 2e + 1$。注意，这个结果可以写成$(e-1)^2$，但保留原形式即可。

本步骤需要计算外层积分 $\int_{0}^{1} (e^{x+1} - e^x) \, dx$。首先，利用积分的线性性质将其拆分为两个积分之差： $$ \int_{0}^{1} (e^{x+1} - e^x) \, dx = \int_{0}^{1} e^{x+1} \, dx - \int_{0}^{1} e^x \, dx. $$ 分别计算两个积分。对于第一个积分 $\int_{0}^{1} e^{x+1} \, dx$，注意到 $e^{x+1} = e \cdot e^x$，因此 $$ \int_{0}^{1} e^{x+1} \, dx = e \int_{0}^{1} e^x \, dx = e \cdot (e^1 - e^0) = e(e - 1) = e^2 - e. $$ 或者直接计算原函数：$\int e^{x+1} \, dx = e^{x+1} + C$，代入上下限得 $e^{1+1} - e^{0+1} = e^2 - e$，结果相同。 对于第二个积分 $\int_{0}^{1} e^x \, dx$，其原函数为 $e^x$，代入上下限得 $e^1 - e^0 = e - 1$。 因此，原积分等于 $$ (e^2 - e) - (e - 1) = e^2 - e - e + 1 = e^2 - 2e + 1. $$ 最终结果为 $e^2 - 2e + 1$。验证：该结果可写为 $(e-1)^2$，是一个正数，符合被积函数 $e^{x+1} - e^x = e^x(e-1) > 0$ 在区间 $[0,1]$ 上恒正的性质，因此积分值为正合理。