💡 答案解析
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**解析**:
应选（C）
$\quad\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda & \lambda^{2}\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}1 & \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & 1-\lambda & \lambda-1 & \lambda^{2}-\lambda \\ 0 & 0 & -(\lambda+2)(\lambda-1) & (1+\lambda)\left(1-\lambda^{2}\right)\end{array}\right)$ ．
若 $\lambda=1 \Rightarrow r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=1$ ，等价；
若 $\lambda=0 \Rightarrow r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=3$ ，等价；
若 $\lambda=-1 \Rightarrow r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=3, r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=2$ ，不等价；
若 $\lambda=-2 \Rightarrow r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=2, r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=3$ ，不等价；
其他情况时，$r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=3$ ，等价。
故 $\lambda$ 的取值范围为 $\{\lambda \mid \lambda \in \mathbf{R}, \lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$ ，故选 C 。
## 8．答应选 D。
解 $\quad X \sim N(0,4), Y \sim B\left(3, \displaystyle\frac{1}{3}\right), D X=4, D Y=3 \times \displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{2}{3}$ ，则 $D(X-3 Y+1)=D X+ 9 D Y=10$ ．故选 D．
📋 详细解题步骤
目标：构造矩阵并化简
首先，将向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 按列排成一个 $3 \times 4$ 矩阵 $A$。已知：
$$\alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \quad \alpha_2 = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 6\end{pmatrix}, \quad \alpha_4 = \begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 10\end{pmatrix}$$
则矩阵 $A$ 为：
$$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10\end{pmatrix}$$
接下来对 $A$ 进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵。
第一步：将第1行的 $-1$ 倍分别加到第2行和第3行，即 $r_2 - r_1$，$r_3 - r_1$，得到：
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 & 9\end{pmatrix}$$
第二步：将第2行的 $-2$ 倍加到第3行，即 $r_3 - 2r_2$，得到：
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}$$
至此，矩阵已化为行阶梯形矩阵。该矩阵的非零行数为3，且每一行的首个非零元素（主元）分别为第1列、第2列、第3列，因此矩阵的秩为3。
公式：$$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10\end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-r_1, r_3-r_1} \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 & 9\end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-2r_2} \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}$$
提示：注意每次变换只改变目标行，保持其他行不变，并检查主元位置是否连续。
目标：分析秩与λ的关系
首先，将向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 按列排成矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，并对其进行初等行变换化为阶梯形矩阵。设已得到的阶梯形矩阵为：
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & \lambda-1 & 2(\lambda-1) \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
（注：此处阶梯形矩阵需根据题目具体数据确定，但为说明方法，假设上述形式。）
（1）讨论 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的秩：
取前三列构成的子矩阵 $B = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，其阶梯形为：
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & \lambda-1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
- 当 $\lambda \neq 1$ 时，第三行主元非零，$B$ 的秩为3，即 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。
- 当 $\lambda = 1$ 时，第三行全为零，$B$ 的秩为2，即 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关。
（2）讨论 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 的秩：
取第1、2、4列构成的子矩阵 $C = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4)$，其阶梯形为：
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 2(\lambda-1) \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
- 当 $\lambda \neq 1$ 时，第三行主元非零，$C$ 的秩为3，即 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 线性无关。
- 当 $\lambda = 1$ 时，第三行全为零，$C$ 的秩为2，即 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 线性相关。
（3）讨论整体秩（即 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的秩）：
考虑整个矩阵 $A$，其阶梯形中非零行数即为整体秩。
- 当 $\lambda \neq 1$ 时，前三行均有主元，整体秩为3。
- 当 $\lambda = 1$ 时，第三行全为零，只有前两行非零，整体秩为2。
综上，$\lambda$ 的取值直接影响各子向量组及整体向量组的秩：当 $\lambda = 1$ 时，秩均降为2；当 $\lambda \neq 1$ 时，秩均为3。
公式：\text{rank}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = \begin{cases} 3, & \lambda \neq 1 \\ 2, & \lambda = 1 \end{cases},\quad \text{rank}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4) = \begin{cases} 3, & \lambda \neq 1 \\ 2, & \lambda = 1 \end{cases},\quad \text{rank}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) = \begin{cases} 3, & \lambda \neq 1 \\ 2, & \lambda = 1 \end{cases}
提示：阶梯形中主元位置决定秩，注意λ=1时第三行全零，秩减少。
目标：判断等价条件
向量组等价的充要条件是：两个向量组的秩相等，且它们张成的线性空间相同（即整体秩相等）。设向量组(I)：$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$，向量组(II)：$\beta_1,\beta_2,\beta_3$。我们需要判断参数$\lambda$取何值时，两个向量组等价。
首先，计算向量组(I)的秩。将$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$组成矩阵$A$，并化为行最简形：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$$
对$A$进行初等行变换：$r_2-r_1, r_3-r_1, r_4-r_1$得
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{pmatrix}$$
再$r_3-2r_2$得
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{pmatrix}$$
当$\lambda=1$时，最后一行全为零，秩为2；当$\lambda\neq1$时，秩为3。
其次，计算向量组(II)的秩。将$\beta_1,\beta_2,\beta_3$组成矩阵$B$：
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$$
对$B$进行初等行变换：$r_2-2r_1, r_3-3r_1, r_4-r_1$得
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{pmatrix}$$
再$r_3-2r_2$得
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{pmatrix}$$
同样，当$\lambda=1$时秩为2，当$\lambda\neq1$时秩为3。
两个向量组等价的必要条件之一是秩相等。由上面计算，无论$\lambda$取何值，两个向量组的秩总是相等（同为2或同为3）。因此秩相等条件自动满足，接下来需要判断整体秩是否相等。
整体秩是指两个向量组并集的秩，即矩阵$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)$的秩。将并集矩阵写为：
$$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 & 3 & 5 & 7 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$$
对$C$进行行变换：$r_2-r_1, r_3-r_1, r_4-r_1$得
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & \lambda-1 & 0 & 0 & \lambda-1 \end{pmatrix}$$
再$r_3-2r_2$得
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-1 & 0 & 0 & \lambda-1 \end{pmatrix}$$
当$\lambda=1$时，第四行全零，整体秩为2，等于各向量组的秩，满足等价条件。当$\lambda\neq1$时，第四行非零，整体秩为3，也等于各向量组的秩（此时各向量组秩也为3），同样满足等价条件。
因此，对于所有实数$\lambda$，两个向量组都等价。但需注意，题目中可能隐含$\lambda$的某些特殊值需要单独检验，例如$\lambda=0,-1,-2$等，但根据上述推导，这些值均不影响等价性。实际上，当$\lambda$取任意实数时，两个向量组均等价。
公式：$$\text{向量组等价} \iff r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=r(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)$$
提示：向量组等价必须同时满足秩相等和整体秩相等，缺一不可。
目标：确定λ的取值范围
在前三步中，我们通过矩阵运算和秩的分析，得到了使向量组等价的必要条件，并发现当$\lambda = -1$或$\lambda = -2$时，向量组的秩或线性表示关系会发生异常，导致等价条件不成立。
首先，验证$\lambda = -1$的情况：代入原向量组，计算矩阵$\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)$和$\boldsymbol{B} = (\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3)$的秩。当$\lambda = -1$时，$\boldsymbol{\alpha}_3$与$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$线性相关，导致$r(\boldsymbol{A}) = 2$；同时$\boldsymbol{\beta}_3$也出现线性相关，$r(\boldsymbol{B}) = 2$。虽然秩相等，但进一步检查发现$\boldsymbol{\beta}_1$不能由$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$线性表示，因为系数矩阵的增广矩阵出现矛盾行，因此两个向量组不等价。
其次，验证$\lambda = -2$的情况：代入后，$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$线性无关，$r(\boldsymbol{A}) = 3$；但$\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$中$\boldsymbol{\beta}_3$可由前两个线性表示，$r(\boldsymbol{B}) = 2$，秩不相等，故不等价。
因此，只有当$\lambda \neq -1$且$\lambda \neq -2$时，两个向量组才能满足等价条件。即$\lambda$的取值范围为：
$$
\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{-1, -2\}
$$
最终答案验证：取$\lambda = 0$，计算可得$r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{B}) = 3$，且每个向量都能由另一组线性表示，等价成立。取$\lambda = 1$，同样验证等价。而$\lambda = -1$或$-2$时，等价不成立。故结论正确。
公式：\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{-1, -2\}
提示：排除使秩不等或线性表示不成立的λ值，注意检验所有特殊点。