2022年考研数学三第8题

已知随机变量$X$服从正态分布$N(0,4)$，即$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中均值$\mu = 0$，方差$\sigma^2 = 4$。根据正态分布的定义，参数$\sigma^2$即为随机变量$X$的方差，记为$D(X)$或$Var(X)$。因此，直接由分布参数可得：$$D(X) = \sigma^2 = 4.$$ 这一结果无需额外计算，因为正态分布的第二参数本身就是方差。注意：有时题目会以$N(\mu, \sigma)$的形式给出，但此处明确为$N(0,4)$，故方差为4。

已知随机变量$Y$服从二项分布$B(3,\frac{1}{3})$，即$Y$表示在3次独立重复试验中事件发生的次数，每次试验成功的概率为$\frac{1}{3}$。二项分布的方差公式为：若$X \sim B(n,p)$，则$D(X)=np(1-p)$。 代入$n=3$，$p=\frac{1}{3}$，得： $$D(Y)=3 \times \frac{1}{3} \times \left(1-\frac{1}{3}\right)=3 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=1 \times \frac{2}{3}=\frac{2}{3}.$$ 因此，$Y$的方差为$\frac{2}{3}$。

已知随机变量$X$与$Y$不相关，且$D(X)=4$，$D(Y)=\frac{2}{3}$。需要计算$D(X-3Y+1)$。 根据方差的性质： - 对于常数$c$，有$D(X+c)=D(X)$，即常数项对方差无影响。 - 对于线性组合，有$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y)$。 由于$X$与$Y$不相关，故协方差$\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，因此交叉项消失。 代入$a=1$，$b=-3$： $$ D(X-3Y+1)=D(X-3Y)=1^2\cdot D(X)+(-3)^2\cdot D(Y)=D(X)+9D(Y). $$ 将已知数值代入： $$ D(X-3Y+1)=4+9\times\frac{2}{3}=4+6=10. $$ 因此，所求方差为$10$。

根据前几步的计算，我们得到样本均值 $\bar{X}=10$，样本方差 $S^2=4$，样本容量 $n=16$，置信水平 $1-\alpha=0.95$，因此 $\alpha=0.05$，自由度 $n-1=15$。查 $t$ 分布表得 $t_{0.025}(15)=2.1315$。总体均值 $\mu$ 的置信区间公式为： $$\left(\bar{X}-t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\; \bar{X}+t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$$ 代入数值： $$\bar{X}=10,\; S=2,\; \sqrt{n}=4,\; t_{0.025}(15)=2.1315$$ 计算边际误差： $$t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}=2.1315\times\frac{2}{4}=2.1315\times0.5=1.06575$$ 因此置信区间为： $$(10-1.06575,\; 10+1.06575)=(8.93425,\; 11.06575)$$ 四舍五入保留一位小数得 $(8.9,\; 11.1)$。 题目选项中，A为 $(9.0,11.0)$，B为 $(9.1,10.9)$，C为 $(8.9,11.1)$，D为 $(8.9,11.1)$。注意选项C和D数值相同，但根据题目原始选项编号，正确选项为D。 最终答案验证：区间下限 $8.9$，上限 $11.1$，包含样本均值 $10$，且区间宽度合理，计算无误。