2023年考研数学三第11题

首先，我们面对的是当 $x \to \infty$ 时的极限问题。为了将无穷远处的极限转化为 $0$ 附近的极限，便于使用等价无穷小或泰勒展开等工具，我们进行变量代换。令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0$。同时，原极限中的 $x$ 可以表示为 $x = \frac{1}{t}$。 原极限表达式为： $$ \lim_{x \to \infty} x^2 \left( 2 - x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} \right) $$ 将 $x = \frac{1}{t}$ 代入，注意 $x^2 = \frac{1}{t^2}$，$x \sin \frac{1}{x} = \frac{1}{t} \sin t$，$\cos \frac{1}{x} = \cos t$。于是原极限化为： $$ \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} \left( 2 - \frac{1}{t} \sin t - \cos t \right) $$ 这样，我们就将 $x \to \infty$ 的极限问题转化为 $t \to 0$ 的极限问题，为后续使用泰勒展开或洛必达法则创造了条件。

为了对参数方程进行后续的极限或渐近分析，我们需要将 $\sin t$ 和 $\cos t$ 在 $t=0$ 附近展开为泰勒级数（麦克劳林级数），并保留到足够高阶的项。 首先，考虑 $\sin t$ 的展开。已知 $\sin t$ 的泰勒级数为： $$ \sin t = t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \cdots $$ 由于后续计算中我们需要用到 $t^3$ 项，因此展开到 $t^3$ 阶，并加上高阶无穷小 $o(t^3)$： $$ \sin t = t - \frac{t^3}{6} + o(t^3) $$ 这里 $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$。 其次，考虑 $\cos t$ 的展开。已知 $\cos t$ 的泰勒级数为： $$ \cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots $$ 由于后续计算中我们需要用到 $t^2$ 项，因此展开到 $t^2$ 阶，并加上高阶无穷小 $o(t^2)$： $$ \cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2) $$ 这里 $\frac{1}{2!} = \frac{1}{2}$。 注意：$o(t^3)$ 表示比 $t^3$ 更高阶的无穷小，$o(t^2)$ 表示比 $t^2$ 更高阶的无穷小。在后续代入参数方程时，这些展开式将用于化简 $x(t)$ 和 $y(t)$ 的表达式，以便求出曲线的斜率和曲率等。

将第二步得到的展开式代入原表达式中的括号部分： 原括号内为： $$2 - \frac{1}{t}\sin t - \cos t$$ 代入 $\sin t = t - \frac{t^3}{6} + o(t^3)$ 和 $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$，得： $$2 - \frac{1}{t}\left(t - \frac{t^3}{6} + o(t^3)\right) - \left(1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)\right)$$ 先计算 $\frac{1}{t}\left(t - \frac{t^3}{6} + o(t^3)\right) = 1 - \frac{t^2}{6} + o(t^2)$，注意 $\frac{1}{t} \cdot o(t^3) = o(t^2)$。 于是原式变为： $$2 - \left(1 - \frac{t^2}{6} + o(t^2)\right) - \left(1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)\right)$$ 去括号： $$2 - 1 + \frac{t^2}{6} - o(t^2) - 1 + \frac{t^2}{2} - o(t^2)$$ 合并常数项：$2 - 1 - 1 = 0$。 合并 $t^2$ 项：$\frac{t^2}{6} + \frac{t^2}{2} = \frac{t^2}{6} + \frac{3t^2}{6} = \frac{4t^2}{6} = \frac{2t^2}{3}$。 合并无穷小项：$- o(t^2) - o(t^2) = o(t^2)$（两个同阶无穷小之和仍为同阶无穷小）。 因此括号内表达式化简为： $$\frac{2}{3}t^2 + o(t^2)$$

本步骤是求解极限的最后一步。已知前一步已将原极限转化为 $\lim_{t\to 0} \frac{1}{t^2} \cdot \left[ \frac{2}{3}t^2 + o(t^2) \right]$ 的形式。现在直接进行极限计算： 首先，将括号内的表达式代入： $$ \lim_{t\to 0} \frac{1}{t^2} \cdot \left( \frac{2}{3}t^2 + o(t^2) \right) = \lim_{t\to 0} \left( \frac{2}{3} + \frac{o(t^2)}{t^2} \right). $$ 根据高阶无穷小的定义，当 $t\to 0$ 时，$o(t^2)$ 表示比 $t^2$ 更高阶的无穷小，即 $\frac{o(t^2)}{t^2} \to 0$。因此，上式中的第二项趋于零，即 $\frac{o(t^2)}{t^2} = o(1)$。于是极限化为： $$ \lim_{t\to 0} \left( \frac{2}{3} + o(1) \right) = \frac{2}{3}. $$ 最终结果为 $\frac{2}{3}$。验证：由于每一步都使用了等价无穷小替换和泰勒展开，且 $t\to 0$ 时所有运算合法，因此结果正确。