2023年考研数学三第12题

已知函数 $f(x,y)$ 的全微分形式为： $$ df = \frac{-y}{x^2+y^2}dx + \frac{x}{x^2+y^2}dy. $$ 根据全微分的定义，若函数 $f(x,y)$ 可微，则其全微分可表示为： $$ df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy. $$ 比较两个表达式，对应 $dx$ 和 $dy$ 的系数，可得： $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-y}{x^2+y^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{x^2+y^2}. $$ 这里 $x^2+y^2 \neq 0$，即点 $(x,y)$ 不在原点。这两个偏导数在定义域内是连续的，因此 $f(x,y)$ 确实可微，且全微分形式正确。本步骤完成了从全微分到偏导数的识别，为后续求原函数 $f(x,y)$ 奠定了基础。

已知第一步已求得 $f_x'(x,y) = \frac{-y}{x^2 + y^2}$。本步骤对 $x$ 进行偏积分，即视 $y$ 为常数，对 $x$ 求不定积分： $$f(x,y) = \int \frac{-y}{x^2 + y^2} \, dx.$$ 由于 $y$ 是常数，可提出因子 $-y$： $$f(x,y) = -y \int \frac{1}{x^2 + y^2} \, dx.$$ 回忆基本积分公式：$\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$，其中 $a$ 为常数。这里 $a = y$（注意 $y \neq 0$），因此： $$\int \frac{1}{x^2 + y^2} \, dx = \frac{1}{y} \arctan\left(\frac{x}{y}\right) + C.$$ 代入上式： $$f(x,y) = -y \cdot \left[ \frac{1}{y} \arctan\left(\frac{x}{y}\right) + C \right] = -\arctan\left(\frac{x}{y}\right) - y \cdot C.$$ 注意，这里的积分常数 $C$ 实际上可以是 $y$ 的任意函数，因为对 $x$ 积分时，任何只依赖于 $y$ 的项对 $x$ 的偏导数均为零。因此，将 $-y \cdot C$ 合并记为 $c(y)$，得到： $$f(x,y) = -\arctan\left(\frac{x}{y}\right) + c(y),$$ 其中 $c(y)$ 是待定的关于 $y$ 的函数。至此完成了对 $x$ 的偏积分。

在前一步中，我们通过积分得到了含有待定函数 $c(y)$ 的表达式。现在，我们需要利用已知的 $f_y'$ 条件来确定 $c(y)$ 的具体形式。 设已得表达式为 $f(x,y) = \int P(x,y)\,dx + c(y)$，其中 $P(x,y)$ 是已知函数，$c(y)$ 是仅关于 $y$ 的待定函数。对 $f(x,y)$ 求关于 $y$ 的偏导数，得到： $$ f_y'(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)\,dx\right) + c'(y). $$ 根据题目已知条件，$f_y'(x,y)$ 应等于某个已知函数 $Q(x,y)$（即 $f_y' = Q(x,y)$）。因此，我们有： $$ \frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)\,dx\right) + c'(y) = Q(x,y). $$ 移项得： $$ c'(y) = Q(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)\,dx\right). $$ 注意，上式左边是仅关于 $y$ 的函数，而右边在一般情况下可能同时含有 $x$ 和 $y$。但由于 $c'(y)$ 与 $x$ 无关，因此右边表达式必须与 $x$ 无关，即它实际上是一个仅关于 $y$ 的函数。通过计算并化简，我们发现右边恰好等于 $0$，即： $$ Q(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)\,dx\right) = 0, $$ 从而得到 $c'(y) = 0$。 因此，$c(y)$ 是一个常数，记作 $C$。于是 $f(x,y)$ 的表达式为： $$ f(x,y) = \int P(x,y)\,dx + C. $$ 至此，待定函数 $c(y)$ 被确定为常数，下一步将利用其他条件（如初始条件）求出该常数 $C$。

已知函数表达式为 $f(x,y) = -\arctan\left(\frac{x}{y}\right) + C$，其中 $C$ 为待定常数。题目给出的初始条件为 $f(1,1) = \frac{\pi}{4}$。将 $x=1$，$y=1$ 代入函数表达式，得： $$ f(1,1) = -\arctan\left(\frac{1}{1}\right) + C = -\arctan(1) + C. $$ 由于 $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$，因此 $$ f(1,1) = -\frac{\pi}{4} + C. $$ 根据初始条件 $f(1,1) = \frac{\pi}{4}$，建立方程： $$ -\frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4}. $$ 移项解得： $$ C = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}. $$ 因此，常数 $C = \frac{\pi}{2}$。代入原函数表达式，得到满足初始条件的特解： $$ f(x,y) = -\arctan\left(\frac{x}{y}\right) + \frac{\pi}{2}. $$

将点 $(\sqrt{3}, 3)$ 代入函数 $f(x,y) = -\arctan(x/y) + \pi/2$。首先计算 $x/y = \sqrt{3}/3 = 1/\sqrt{3}$。于是 $\arctan(1/\sqrt{3}) = \pi/6$（因为 $\tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$）。因此 $f(\sqrt{3},3) = -\pi/6 + \pi/2 = \pi/3$。最终结果为 $\pi/3$。验证：代入原函数，计算无误，且结果在 $f$ 的值域内。