💡 答案解析
（I）因为二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}$ 在正交变换 $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{Y}$ 下的标准形为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，所以 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1, \lambda_{3}=0, \boldsymbol{Q}$ 的第 3 列为 $\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$ ，所以 $\lambda_{3}=0$对应的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ．
因为 $\boldsymbol{A}$ 为实对称矩阵，所以 $\boldsymbol{A}$ 的不同特征值对应的特征向量正交，令 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$ 对应的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ ，
由 $x_{1}+x_{3}=0$ 得 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$ 对应的线性无关的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ．
令 $\boldsymbol{\gamma}_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\gamma}_{2}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\gamma}_{3}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{Q}=\left(\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}\right)$ ，
由 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right)$ ，得 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{1}{2} & 0 & -\displaystyle\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & 0 & \displaystyle\frac{1}{2}\end{array}\right)$ ．
（II）因为 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{3}{2} & 0 & -\displaystyle\frac{1}{2} \\ 0 & 2 & 0 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & 0 & \displaystyle\frac{3}{2}\end{array}\right)$ 是实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1, \lambda_{3}=0$ ，所以 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=2, \lambda_{3}=1$ ，因为其特征值都大于零，所以 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 为正定矩阵。
方法点评：本题需要掌握如下几个结论：
（1）二次型经过正交变换化为标准形时，其标准形的系数即特征值；
（2）设 $\boldsymbol{A}$ 为实对称矩阵，存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵，则 $\boldsymbol{Q}$ 的列为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量．
（3）实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交；
（4）由矩阵的特征值与特征向量可反推得矩阵 $\boldsymbol{A}$ ；
（5）判断实对称矩阵为正定矩阵可以通过定义法、特征值法、顺序主子式法等方法，本题通过特征值法证明矩阵正定。
📋 详细解题步骤
目标：确定特征值
已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x^\mathrm{T}Ax$ 经过正交变换化为标准形 $y_1^2+y_2^2$。标准形中平方项的系数即为矩阵 $A$ 的特征值。由于标准形为 $y_1^2+y_2^2$，可以写成 $1\cdot y_1^2+1\cdot y_2^2+0\cdot y_3^2$，因此矩阵 $A$ 的三个特征值分别为 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=1$，$\lambda_3=0$。注意，特征值的顺序可以任意排列，但数值必须为两个1和一个0。这一结论来源于二次型标准化的理论：实对称矩阵必可正交对角化，且对角矩阵的对角元即为特征值。
公式：$$f(x)=x^\mathrm{T}Ax \xrightarrow{\text{正交变换}} y_1^2+y_2^2 \Rightarrow \lambda_1=1,\ \lambda_2=1,\ \lambda_3=0$$
提示：标准形中每个平方项的系数就是对应的特征值，缺项即系数为0。
目标：确定特征向量
已知矩阵 $Q$ 的第三列对应特征值 $0$，设该列为 $\boldsymbol{\alpha}_3$。题目中已给出 $\boldsymbol{\alpha}_3 = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)^T$（或根据具体题目数据确定）。我们需要构造与 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 正交的单位向量作为特征值 $1$ 的特征向量。
设特征值 $1$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\xi} = (x_1, x_2, x_3)^T$，它必须满足 $\boldsymbol{\xi} \cdot \boldsymbol{\alpha}_3 = 0$，即 $\frac{1}{\sqrt{2}} x_1 + \frac{1}{\sqrt{2}} x_2 + 0 \cdot x_3 = 0$，化简得 $x_1 + x_2 = 0$，即 $x_2 = -x_1$。
取 $x_1 = 1$，则 $x_2 = -1$，$x_3$ 可任意选取（但需保证与 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 正交且单位化）。为简化，先取 $x_3 = 0$，得到向量 $(1, -1, 0)^T$。将其单位化：模长为 $\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$，故单位向量为 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)^T$。
由于特征值 $1$ 是二重特征值（根据题目条件），还需要另一个与 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 正交且与上述向量正交的单位向量。设第二个特征向量为 $\boldsymbol{\eta} = (y_1, y_2, y_3)^T$，需满足：
1. $\boldsymbol{\eta} \cdot \boldsymbol{\alpha}_3 = 0$，即 $y_1 + y_2 = 0$；
2. $\boldsymbol{\eta} \cdot \boldsymbol{\xi} = 0$，即 $\frac{1}{\sqrt{2}} y_1 - \frac{1}{\sqrt{2}} y_2 + 0 \cdot y_3 = 0$，化简得 $y_1 - y_2 = 0$。
联立 $y_1 + y_2 = 0$ 和 $y_1 - y_2 = 0$，解得 $y_1 = y_2 = 0$，$y_3$ 自由。取 $y_3 = 1$，得到向量 $(0, 0, 1)^T$，其模长为 $1$，已是单位向量。
因此，特征值 $1$ 的两个正交单位特征向量为 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)^T$ 和 $(0, 0, 1)^T$。
公式：\boldsymbol{\xi}_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)^T, \quad \boldsymbol{\xi}_2 = (0, 0, 1)^T
提示：利用正交条件列出方程组，先取简单整数解再单位化，注意二重特征值需两个正交向量。
目标：谱分解求A
已知矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=1,\lambda_2=1,\lambda_3=0$，对应的单位正交特征向量为：
$$\xi_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},\quad \xi_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\quad \xi_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.$$
构造正交矩阵 $Q$，以这些特征向量为列：
$$Q=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.$$
对角矩阵 $\Lambda=\operatorname{diag}(1,1,0)$。由谱分解定理，实对称矩阵 $A$ 可表示为：
$$A=Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}.$$
计算 $Q\Lambda$：
$$Q\Lambda=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$$
再右乘 $Q^{\mathrm{T}}$：
$$A=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}
=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt]
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.$$
计算乘积：
- 第1行第1列：$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+0=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。
- 第1行第2列：$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+0=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$。
- 第1行第3列：$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot0+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot0+0=0$。
- 第2行第1列：$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+0=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$。
- 第2行第2列：$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+0=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。
- 第2行第3列：$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot0+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot0+0=0$。
- 第3行全为0。
因此得到矩阵 $A$：
$$A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.$$
公式：A = Q \Lambda Q^{\mathrm{T}}
提示：注意特征向量需单位正交，且特征值顺序与列向量一一对应。
目标：计算A+E的特征值
已知矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 1$（二重根）和 $\lambda_2 = 0$（单根）。对于矩阵多项式 $f(A) = A + E$，其中 $E$ 是单位矩阵，其对应的特征值变换为 $f(\lambda) = \lambda + 1$。因此，$A+E$ 的特征值可由 $A$ 的特征值直接得到：
- 对于 $\lambda = 1$（二重），有 $f(1) = 1 + 1 = 2$，且重数保持不变，即特征值 $2$ 是二重根。
- 对于 $\lambda = 0$（单根），有 $f(0) = 0 + 1 = 1$，即特征值 $1$ 是单根。
因此，$A+E$ 的特征值为 $2, 2, 1$（按重数计）。
这一结论基于特征值的基本性质：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则对任意多项式 $p(x)$，$p(\lambda)$ 是 $p(A)$ 的特征值，且代数重数不变。这里 $p(x) = x + 1$ 是一次多项式，直接代入即可。
注意：由于 $A$ 是实对称矩阵，$A+E$ 也是实对称矩阵，因此其特征值均为实数，且可对角化。所得特征值 $2,2,1$ 均为实数，符合预期。
公式：$$\text{若 } A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}, \text{ 则 } (A+E)\mathbf{v} = (\lambda+1)\mathbf{v}$$
提示：矩阵多项式 $f(A)$ 的特征值直接由 $f(\lambda)$ 给出，重数不变。