2010年考研数学一第22题

首先，根据概率密度函数的归一化性质，二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数 $f(x,y)$ 在全平面上的积分必须等于1，即 $$ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx \, dy = 1. $$ 题目中给出的联合概率密度函数为 $f(x,y) = A e^{-2x^2 + 2xy - y^2}$，其中 $A$ 为待定常数。代入归一化条件得 $$ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} A e^{-2x^2 + 2xy - y^2} \, dx \, dy = 1. $$ 由于 $A$ 为常数，可以提到积分号外，得到 $$ A \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x^2 + 2xy - y^2} \, dx \, dy = 1. $$ 因此，$A$ 的表达式为 $$ A = \frac{1}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x^2 + 2xy - y^2} \, dx \, dy}. $$ 接下来需要计算二重积分 $I = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x^2 + 2xy - y^2} \, dx \, dy$。观察指数部分 $-2x^2 + 2xy - y^2$，这是一个二次型，可以写成矩阵形式： $$ -2x^2 + 2xy - y^2 = -\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. $$ 或者通过配方法将其化为标准形。先对 $x$ 进行配方： $$ -2x^2 + 2xy - y^2 = -2\left(x^2 - xy\right) - y^2 = -2\left[\left(x - \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{4}\right] - y^2 = -2\left(x - \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{y^2}{2} - y^2 = -2\left(x - \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{2}. $$ 因此， $$ e^{-2x^2 + 2xy - y^2} = e^{-2\left(x - \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{2}} = e^{-2\left(x - \frac{y}{2}\right)^2} \cdot e^{-\frac{y^2}{2}}. $$ 于是积分 $I$ 变为 $$ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\left(x - \frac{y}{2}\right)^2} \, dx \right] dy. $$ 对于内层积分，令 $u = x - \frac{y}{2}$，则 $dx = du$，积分限不变，得到 $$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2u^2} \, du = \sqrt{\frac{\pi}{2}}. $$ （这里利用了高斯积分公式 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a u^2} du = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$，其中 $a=2$。） 因此， $$ I = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}} \, dy = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \sqrt{2\pi} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \sqrt{2\pi} = \pi. $$ （这里利用了 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{y^2}{2}} dy = \sqrt{2\pi}$。） 所以 $I = \pi$，代入 $A$ 的表达式得 $$ A = \frac{1}{\pi}. $$ 至此，我们通过归一化条件建立了方程并解出了常数 $A$。

我们需要将指数部分 $-2x^2+2xy-y^2$ 配成完全平方的形式，以便后续积分。首先，将表达式按 $y$ 的降幂排列：$-y^2+2xy-2x^2$。提出 $y^2$ 项的负号，写成 $-(y^2-2xy+2x^2)$。现在对括号内的二次型关于 $y$ 配平方：$y^2-2xy$ 部分加上 $x^2$ 再减去 $x^2$，即 $y^2-2xy+x^2 - x^2 + 2x^2 = (y-x)^2 + x^2$。因此，原指数为 $-( (y-x)^2 + x^2 ) = -(y-x)^2 - x^2$。于是，原函数 $f(x,y)=A e^{-2x^2+2xy-y^2}$ 化为 $f(x,y)=A e^{-x^2} e^{-(y-x)^2}$。这样，指数部分被分解为两个独立变量的函数乘积形式，其中 $e^{-x^2}$ 只依赖于 $x$，$e^{-(y-x)^2}$ 是 $y$ 关于 $x$ 的条件正态分布核。

在计算二维正态分布的概率时，我们通常需要先对其中一个变量积分。本步骤固定$x$，先对$y$进行积分。 考虑积分： $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(y-x)^2} \, dy$$ 这是一个典型的高斯积分。令$u = y - x$，则$du = dy$，当$y \to -\infty$时$u \to -\infty$，当$y \to +\infty$时$u \to +\infty$。于是积分化为： $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} \, du$$ 已知高斯积分公式： $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} \, du = \sqrt{\pi}$$ 因此， $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(y-x)^2} \, dy = \sqrt{\pi}$$ 注意，这个结果与$x$无关，因为平移变换$u = y - x$将积分化为标准形式。所以，无论$x$取何值，该积分的结果都是常数$\sqrt{\pi}$。 这个结果将用于后续步骤中对$x$的积分计算。

当前步骤的目标是完成对变量 $x$ 的积分。上一步中，我们已将二重积分化为两个独立积分的乘积形式，即： $$\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \,dx\,dy = \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \,dx\right) \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} \,dy\right).$$ 由于两个积分形式完全相同，且已知高斯积分的结果为 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} \,dt = \sqrt{\pi}$，因此每个积分都等于 $\sqrt{\pi}$。于是，原二重积分等于 $\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi} = \pi$。 但在本步骤中，我们还需考虑之前引入的系数 $A$。根据步骤概要，剩余积分的形式为 $A \sqrt{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \,dx$。这里 $A$ 是前面步骤中从变量替换或归一化常数中提取的系数。将 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \,dx = \sqrt{\pi}$ 代入，得到： $$A \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi} = A \pi.$$ 因此，对 $x$ 积分的结果为 $A \pi$。这个结果将用于后续步骤中确定 $A$ 的值或进一步化简。

由概率密度函数的归一性，即在整个样本空间上的积分为1，有： $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dxdy = 1. $$ 已知联合概率密度函数为： $$ f(x,y) = \begin{cases} A e^{-(x+2y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 因此积分区域为第一象限 $x>0, y>0$，积分化为： $$ \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} A e^{-(x+2y)} \, dxdy = 1. $$ 由于被积函数可分离变量，先对 $x$ 积分： $$ \int_0^{+\infty} A e^{-x} e^{-2y} \, dx = A e^{-2y} \int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx = A e^{-2y} \cdot 1 = A e^{-2y}. $$ 再对 $y$ 积分： $$ \int_0^{+\infty} A e^{-2y} \, dy = A \cdot \frac{1}{2} = \frac{A}{2}. $$ 因此归一性条件给出： $$ \frac{A}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad A = 2. $$ 注意：题目步骤概要中给出的 $A\pi = 1$ 与本题实际计算不符，本题正确的归一化结果为 $A/2 = 1$，故 $A = 2$。请以实际推导为准。

已知二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数为： $$f(x,y) = \frac{1}{\pi} e^{-x^2 - y^2 + 2xy} = \frac{1}{\pi} e^{-x^2} e^{-(y-x)^2}$$ 根据边缘概率密度的定义，$X$的边缘概率密度$f_X(x)$为联合概率密度$f(x,y)$对$y$的全积分： $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \frac{1}{\pi} e^{-x^2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(y-x)^2} \, dy$$ 令$t = y - x$，则$dt = dy$，积分限不变，于是： $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(y-x)^2} \, dy = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} \, dt$$ 由高斯积分公式，$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} \, dt = \sqrt{\pi}$，代入得： $$f_X(x) = \frac{1}{\pi} e^{-x^2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}$$ 因此，$X$的边缘概率密度函数为： $$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}, \quad -\infty < x < +\infty$$ 该结果符合正态分布$N(0, 1/2)$的概率密度形式，验证了积分计算的正确性。

在前面的步骤中，我们已经求出了联合概率密度函数 $f(x,y)$ 以及边缘概率密度函数 $f_X(x)$。现在，根据条件概率密度的定义，对于给定的 $x$，在 $f_X(x) > 0$ 的条件下，$Y$ 的条件概率密度函数为： $$ f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}. $$ 将之前得到的 $f(x,y)$ 和 $f_X(x)$ 代入上式。假设题目中 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上非零，且 $f_X(x)$ 已计算为某个分段函数。例如，若 $f(x,y) = \frac{1}{2}$ 当 $0 < x < 2, 0 < y < 1$ 且 $x+y \leq 2$，而 $f_X(x) = \frac{1}{2}(2-x)$ 当 $0 < x < 2$，则代入得： $$ f_{Y|X}(y|x) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}(2-x)} = \frac{1}{2-x}, \quad \text{当 } 0 < y < 1 \text{ 且 } y \leq 2-x. $$ 注意，条件概率密度的定义域需要根据 $x$ 的取值确定。对于每个固定的 $x$，$y$ 的取值范围由联合分布的非零区域和 $x$ 共同决定。因此，最终的条件概率密度函数应写为分段形式，并明确标出 $x$ 的取值范围以及对应的 $y$ 的取值范围。 在本步骤中，我们只需写出公式并代入已知函数，得到 $f_{Y|X}(y|x)$ 的表达式。后续步骤将利用该条件密度计算条件期望或其他条件概率。

本步骤的目标是将条件概率密度函数 $f_{Y|X}(y|x)$ 的表达式代入已知的联合密度和边缘密度，并进行化简。 已知联合概率密度函数为 $f(x,y) = \frac{1}{\pi} e^{-x^2} e^{-(y-x)^2}$，边缘概率密度函数为 $f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}$。 条件概率密度函数的定义为： $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$$ 代入已知表达式： $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{\frac{1}{\pi} e^{-x^2} e^{-(y-x)^2}}{\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}}$$ 分子和分母中都有因子 $e^{-x^2}$，可以约去： $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{\frac{1}{\pi} e^{-(y-x)^2}}{\frac{1}{\sqrt{\pi}}}$$ 将分母的倒数乘到分子： $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{\pi} e^{-(y-x)^2} \cdot \sqrt{\pi}$$ 化简系数： $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{\sqrt{\pi}}{\pi} e^{-(y-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(y-x)^2}$$ 因此，在给定 $X=x$ 的条件下，$Y$ 的条件概率密度函数为： $$f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(y-x)^2}, \quad -\infty < y < +\infty$$ 这个结果说明，给定 $X=x$ 时，$Y$ 服从均值为 $x$、方差为 $\frac{1}{2}$ 的正态分布（因为正态分布的概率密度函数为 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，对比可知 $\sigma^2 = \frac{1}{2}$）。

综合前面各步骤，我们已经求得常数 $A = \frac{1}{\pi}$，以及条件概率密度函数 $f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(y-x)^2}$，其中 $-\infty < y < +\infty$。 最终结果如下： 1. 常数 $A = \frac{1}{\pi}$。 2. 条件概率密度函数 $f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(y-x)^2}$，$-\infty < y < +\infty$。 **验证**： - 对于常数 $A$，由联合概率密度函数的归一性，有 $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx \, dy = 1, $$ 代入 $f(x,y) = A e^{-x^2 - (y-x)^2}$，通过积分计算可得 $A = \frac{1}{\pi}$，满足归一化条件。 - 对于条件概率密度，由定义 $f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$，其中 $f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy$。计算得 $f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}$，因此 $$ f_{Y|X}(y|x) = \frac{\frac{1}{\pi} e^{-x^2 - (y-x)^2}}{\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(y-x)^2}, $$ 且对 $y$ 的积分为 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-(y-x)^2} \, dy = 1$，符合概率密度函数的性质。 因此，最终结果正确。