2024年考研数学三第22题
📝 题目
（本题满分 12 分）
设总体 $X$ 服从 $[0, \theta]$ 上的均匀分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为总体的简单随机样本，记
$X_{(n)}=\max \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}, \quad T_{c}=c X_{(n)}$
（1）求 $c$ ，使得 $E\left(T_{c}\right)=\theta$
（2）记 $h(c)=E\left(T_{c}-\theta\right)^{2}=\theta$ ，求 $c$ ，使得 $h(c)$ 最小
💡 答案解析
答案: 见解析
解析:
（1）$X$ 的概率密度为 $f(x)=\left{\begin{array}{l}0, x<0 \ \displaystyle\frac{1}{\theta} x, 0 \leqslant x<\theta \ 1, x \geqslant \theta\end{array}\right.$ ．
$X_{(n)}$ 的分布函数为：
$$
\begin{aligned}
& F_{X(n)}(x)=P\left{\max \left{X_{1}, \quad X_{2}, \cdots, \quad X_{n}\right} \leqslant x\right} \
& =P\left{X_{1} \leqslant \mathrm{x}, \quad \mathrm{X}{2} \leqslant \mathrm{x}, \cdots, X{n} \leqslant \mathrm{x}\right} \
& =P\left{X_{1} \leqslant \mathrm{x}\right} \cdot \mathrm{P}\left{\mathrm{X}{2} \leqslant \mathrm{x}\right} \cdots \cdot \mathrm{P}\left{\mathrm{X}{\mathrm{n}} \leqslant \mathrm{x}\right}=\mathrm{Fn}^{\mathrm{n}}(\mathrm{x}),
\end{aligned}
$$
$X_{(n)}$ 概率密度为 $f_{X(n)}(x)=n F^{n-1}(x) \cdot f(x)=\left{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{n}{\theta^{n}} x^{n-1}, 0<x<\theta \ 0, \text { 其它 }\end{array}\right.$
$$
E\left(T_{c}\right)=c E\left(X_{(n)}\right)=c \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{n}{\theta^{n}} x^{n-1} d x=\frac{c n}{n+1} \theta
$$
令 $E\left(T_{c}\right)=\displaystyle\frac{c n}{n+1} \theta=\theta$ ，得 $c=\displaystyle\frac{n+1}{n}$ 。
（2）$E\left(T_{C}{ }^{2}\right)=C^{2} E\left(X^{2}{ }{(n)}\right)=c^{2} \displaystyle\int{0}^{\theta} x^{2} \cdot \displaystyle\frac{n}{\theta^{n}} x^{n-1} d x=\displaystyle\frac{c^{2} n}{n+2} \theta^{2}$
$h(c)=E\left(T_{c}-\theta\right)^{2}$
$=E\left(T_{C}{ }^{2}-2 \theta T_{c}+\theta^{2}\right)$
$=E\left(T_{c}^{2}\right)-2 \theta E\left(T_{c}\right)+\theta^{2}$
$=\displaystyle\frac{c^{2} n}{n+2} \theta^{2}-\displaystyle\frac{2 c n}{n+1} \theta^{2}+\theta^{2}$ 。
$h^{\prime}(c)=\displaystyle\frac{2 c n}{n+2} \theta^{2}-\displaystyle\frac{2 n}{n+1} \theta^{2}$ ，令 $h^{\prime}(c)=0$ 得 $c=\displaystyle\frac{n+2}{n+1}$ 。
$h^{\prime \prime}(c)=\displaystyle\frac{2 n}{n+2} \theta^{2}>0$ ，所以当 $c=\displaystyle\frac{n+2}{n+1}$ 时，$h(c)$ 最小。