2024年考研数学三第21题
📝 题目
（本题满分 12 分）
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{array}\right), \quad \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{array}\right)$ ，向量
$$
\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
3
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right) .
$$
（1）证明：方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}$ 的解均为方程组 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的解；
（2）若方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}$ 与方程组 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 不同解，求 $a$ 的值．
💡 答案解析
答案: 见解析
解析:
（1）证明：由于 $\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \ B & \beta\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 0 & -1 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 3 & 2 \ 2 & 1 & 2 & 6 & 3 \ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \ 1 & -1 & a & a-1 & 0 \ 2 & -3 & 2 & -2 & -1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
故 $r\left(\begin{array}{ll}A & \alpha \ B & \beta\end{array}\right)=r(A \alpha)$ ，故 $\left{\begin{array}{l}A x=\alpha \ B x=\beta\end{array}\right.$ 与同解，故 $A x=\alpha$ 的解均为 $B x=\beta$ 的解。
（2）由于 $A x=\alpha$ 的解均为 $B x=\beta$ 的解，若 $A x=\alpha$ 与 $B x=\beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $A x=\alpha$ 的解是 $B x=\beta$ 解的真子集，故 $A x=0$ 基础解系中解向量的个数小于 $B x=0$ 基础解系中解向量的个数，则 $3-\mathrm{r}(\mathrm{A}) <3-r(B)$ 故 $r(A)>r(B)$ ，又由故 $r(A)=3$ ，故 $r(B)<3$ ，则 $1 + 1 \longdiv { c } 1 - 1 ~ a \mid=0$ ，得 $a=1$ 。