2024年考研数学三第20题

答案: 见解析

解析:

（1）证明：令 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(0)(1-\mathrm{x})+\mathrm{f}(1) \mathrm{x}$
令 $F(x)=f(x)-g(x)-\displaystyle\frac{x(1-x)}{2}, x \in(0,1)$
$\because F(0)=0, \quad F(1)=0$
$\mathrm{F}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=\mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})+1 \geqslant 0, \quad\left(\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1\right)$
$\therefore \mathrm{F}(\mathrm{x})$ 为凹函数。 $\therefore \mathrm{F}(\mathrm{x}) \leqslant 0$
$\therefore f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x \leq \displaystyle\frac{x(1-x)}{2}$

令 $F(x)=f(x)-g(x)+\displaystyle\frac{x(1-x)}{2}, x \in(0,1)$
$\because F(0)=0, \quad F(1)=0$
$\mathrm{F}^{\prime \prime}(\mathrm{x})=\mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})-1 \leqslant 0, \quad\left(\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1\right)$
$\therefore \mathrm{F}(\mathrm{x})$ 为凸函数。 $\therefore \mathrm{F}(\mathrm{x}) \geqslant 0$
$\therefore f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x \geq-\displaystyle\frac{x(1-x)}{2}$

综上， $\left\lvert\, f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x \leq \displaystyle\frac{x(1-x)}{2}\right.$
（2）由（1）中 $f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x \leq \displaystyle\frac{x(1-x)}{2}$
$\Rightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}[f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x] d x \leq \displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x(1-x)}{2} d x$
$\Rightarrow \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x-\displaystyle\frac{f(0)+f(1)}{2} \leq \displaystyle\frac{1}{12}$
由第（1）问中 $f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x \geq-\displaystyle\frac{x(1-x)}{2}$
$\Rightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}[f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x] d x \geq \displaystyle\int_{0}^{1}-\displaystyle\frac{x(1-x)}{2} d x$
$\Rightarrow \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x-\displaystyle\frac{f(0)+f(1)}{2} \geq-\displaystyle\frac{1}{12}$
综上：$\left|\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) d x-\displaystyle\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \displaystyle\frac{1}{12}$