2025年考研数学三第11题

填空题 · 5分

📝 题目

设 $g(x)$ 是函数 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{2} \ln \displaystyle\frac{3+x}{3-x}$ 的反函数，则曲线 $y=g(x)$ 的渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

好的，我们先认真读题并逐步分析给出完整过程。注意要求找到反函数的渐近线方程。下面我来详细解答。

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**题目：** 设 \[ f(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{3+x}{3-x} \] 的反函数为 $ y = g(x) $，求曲线 $ y = g(x) $ 的渐近线方程。

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### 第一步：明确函数定义域与值域

原函数 \[ f(x) = \frac12 \ln\frac{3+x}{3-x} \] 要有意义需 \[ \frac{3+x}{3-x} > 0 \] 同时分母不能为零，解不等式：

- 分子分母同号：情形1：$3+x>0$ 且 $3-x>0$，得 $ -3 < x < 3$ 情形2：$3+x<0$ 且 $3-x<0$，得 $ x<-3 $ 且 $ x>3 $，无交集。

所以定义域是 $(-3, 3)$。

进一步看值域：当 $x \to -3^+$， $\frac{3+x}{3-x} \to 0^+$，$\ln \to -\infty$，所以 $f(x) \to -\infty$。当 $x \to 3^-$， $\frac{3+x}{3-x} \to +\infty$，$\ln \to +\infty$，所以 $f(x)\to +\infty$，且函数严格递增。

所以原函数 $f: (-3,3) \to (-\infty, +\infty)$ 是一一映射，反函数 $g: (-\infty, +\infty) \to (-3,3)$。

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### 第二步：求反函数表达式

设 \[ y = \frac12 \ln\frac{3+x}{3-x} \] 则 \[ 2y = \ln\frac{3+x}{3-x} \] 两边取指数： \[ e^{2y} = \frac{3+x}{3-x} \] 解出 $x$： \[ e^{2y}(3-x) = 3+x \] \[ 3e^{2y} - x e^{2y} = 3 + x \] \[ 3e^{2y} - 3 = x + x e^{2y} = x(1+e^{2y}) \] 于是 \[ x = \frac{3(e^{2y} - 1)}{e^{2y} + 1} \] 换回自变量 $x$ 表示因变量，反函数为 \[ g(x) = \frac{3(e^{2x} - 1)}{e^{2x}+1} \] 化简： \[ g(x) = 3\cdot \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} \] 这个形式可以写成双曲正切形式： \[ g(x) = 3 \tanh(x) \] 确实如此，因为 $\tanh x = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$。

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### 第三步：求渐近线

这里 $g(x)$ 定义域为全体实数，我们检查趋向无穷时是否有水平渐近线。

当 $x \to +\infty$， $e^{2x} \to +\infty$， \[ g(x) = 3\cdot\frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} \to 3\cdot \frac{1-0}{1+0} = 3 \] 所以 $y=3$ 是一条水平渐近线（$x\to +\infty$）。

当 $x \to -\infty$， $e^{2x} \to 0$， \[ g(x) \to 3\cdot \frac{0-1}{0+1} = -3 \] 所以 $y=-3$ 也是一条水平渐近线（$x\to -\infty$）。

没有垂直渐近线，因为分母 $e^{2x}+1$ 恒正，没有零点。

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### 第四步：结论

反函数 $y=g(x)$ 的渐近线方程为：

\[ \boxed{y=3 \quad\text{和}\quad y=-3} \]

这样就完整地得到了最终答案。如果你还想了解如何快速确认渐近线对应的方向，或者需要我帮你画出函数图像趋势判断，也可以继续问我。

📋 详细解题步骤

步骤 1/5

目标：确定原函数定义域与值域

首先，原函数为 $y = \ln\frac{3+x}{3-x}$。定义域由对数函数的真数大于零确定，即需满足 $\frac{3+x}{3-x} > 0$。解此分式不等式：分子分母同号时商为正，因此有两种情况：情况一：$3+x > 0$ 且 $3-x > 0$，解得 $x > -3$ 且 $x < 3$，即 $x \in (-3, 3)$。情况二：$3+x < 0$ 且 $3-x < 0$，解得 $x < -3$ 且 $x > 3$，无交集，故无解。因此定义域为 $(-3, 3)$。接下来分析值域。令 $t = \frac{3+x}{3-x}$，则 $y = \ln t$。当 $x$ 在定义域 $(-3, 3)$ 内变化时，$t$ 的取值范围可通过极限分析得到： - 当 $x \to -3^+$ 时，$3+x \to 0^+$，$3-x \to 6$，故 $t \to 0^+$，从而 $y = \ln t \to -\infty$。 - 当 $x \to 3^-$ 时，$3+x \to 6$，$3-x \to 0^+$，故 $t \to +\infty$，从而 $y = \ln t \to +\infty$。由于 $t = \frac{3+x}{3-x}$ 在 $(-3, 3)$ 内连续且单调递增（求导可得 $\frac{dt}{dx} = \frac{6}{(3-x)^2} > 0$），因此 $t$ 取遍 $(0, +\infty)$ 中的所有值。而 $y = \ln t$ 在 $(0, +\infty)$ 上的值域为 $(-\infty, +\infty)$。所以原函数的值域为 $(-\infty, +\infty)$。

公式：$$\frac{3+x}{3-x} > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-3, 3)$$ $$\lim_{x \to -3^+} \ln\frac{3+x}{3-x} = -\infty, \quad \lim_{x \to 3^-} \ln\frac{3+x}{3-x} = +\infty$$

提示：注意分式不等式需转化为乘积形式求解，避免遗漏分母为零的点。

步骤 2/5

目标：反解反函数表达式

已知 $y = f(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{3+x}{3-x}\right)$，要求反函数 $g(x)$，即从 $y$ 解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式。第一步：两边乘以 2 得 $2y = \ln\left(\frac{3+x}{3-x}\right)$。第二步：两边取指数（以 $e$ 为底）得 $e^{2y} = \frac{3+x}{3-x}$。第三步：将分式方程化为整式方程：$e^{2y}(3-x) = 3+x$，展开得 $3e^{2y} - x e^{2y} = 3 + x$。第四步：将所有含 $x$ 的项移到一边，常数项移到另一边：$-x e^{2y} - x = 3 - 3e^{2y}$，即 $-x(e^{2y}+1) = 3(1 - e^{2y})$。第五步：两边同时除以 $-(e^{2y}+1)$ 得 $x = \frac{3(e^{2y}-1)}{e^{2y}+1}$。因此，反函数为 $g(x) = \frac{3(e^{2x}-1)}{e^{2x}+1}$。

公式：g(x) = \frac{3(e^{2x}-1)}{e^{2x}+1}

提示：注意两边取指数前先将对数系数化为1，避免遗漏系数。

步骤 3/5

目标：化简反函数形式

由前一步骤已得到反函数表达式： $$g(x) = \frac{3(e^{2x} - 1)}{e^{2x} + 1}$$ 为了将其化简为双曲正切形式，我们利用双曲正切函数的定义： $$\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$ 将分子分母同时乘以 $e^x$ 可得另一种等价形式： $$\tanh x = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$$ 对比 $g(x)$ 的表达式，发现： $$g(x) = 3 \cdot \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = 3 \tanh x$$ 因此，反函数 $g(x)$ 可简洁地表示为 $3\tanh x$。这一形式便于后续分析渐近线行为，因为双曲正切函数具有水平渐近线 $y = \pm 1$，乘以系数3后，$g(x)$ 的水平渐近线即为 $y = \pm 3$。

公式：$$g(x) = 3 \tanh x$$

提示：熟记 $\tanh x = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$ 的变形，可快速识别此类结构。

步骤 4/5

目标：求水平渐近线

为了求函数$g(x)$的水平渐近线，需要分别考察当$x \to +\infty$和$x \to -\infty$时$g(x)$的极限。首先，计算$x \to +\infty$时的极限。由前面步骤已知$g(x) = \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}$。当$x \to +\infty$时，分子分母均为无穷大，采用抓大头的方法： $$ \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \frac{3}{\sqrt{1+0}} = 3. $$ 因此，当$x \to +\infty$时，$g(x) \to 3$，即有一条水平渐近线$y=3$。其次，计算$x \to -\infty$时的极限。注意当$x \to -\infty$时，$x$为负数，此时$\sqrt{x^2} = |x| = -x$（因为$x<0$）。所以： $$ \lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \frac{-3}{1} = -3. $$ 因此，当$x \to -\infty$时，$g(x) \to -3$，即另一条水平渐近线为$y=-3$。综上，函数$g(x)$有两条水平渐近线：$y=3$和$y=-3$。

公式：\lim_{x \to +\infty} g(x)=3,\quad \lim_{x \to -\infty} g(x)=-3

提示：求水平渐近线时，必须分别计算正负无穷两个方向的极限，注意符号变化。

步骤 5/5

目标：确认无其他渐近线

首先检查是否存在垂直渐近线。垂直渐近线出现在函数分母为零且分子不为零的点。本题中，函数为 $y = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$，其分母为 $e^{2x}+1$。由于指数函数 $e^{2x} > 0$ 对所有实数 $x$ 成立，因此 $e^{2x}+1 > 1$ 恒成立，分母永不为零。故函数定义域为全体实数 $\mathbb{R}$，不存在使分母为零的点，因此没有垂直渐近线。其次检查是否存在斜渐近线。斜渐近线的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$b = \lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - kx]$。对于本题函数 $f(x) = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$，注意到该函数实际上是双曲正切函数 $\tanh(x)$ 的变形。事实上，$\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} = \tanh(x)$。双曲正切函数的值域为 $(-1,1)$，且当 $x \to +\infty$ 时，$\tanh(x) \to 1$；当 $x \to -\infty$ 时，$\tanh(x) \to -1$。因此，函数有两条水平渐近线：$y=1$（当 $x \to +\infty$）和 $y=-1$（当 $x \to -\infty$）。由于函数存在水平渐近线，斜渐近线存在的必要条件（$k \neq 0$ 且 $k$ 为有限值）不满足。具体计算：$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\tanh(x)}{x} = 0$，故 $k=0$，此时斜渐近线退化为水平渐近线。同理，$x \to -\infty$ 时 $k=0$。因此，函数没有斜渐近线。综上所述，函数 $y = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$ 仅有两条水平渐近线 $y=1$ 和 $y=-1$，无垂直渐近线和斜渐近线。最终答案验证：已找到所有渐近线，步骤完成。

公式：$$y = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} = \tanh(x)$$

提示：先判断函数是否为常见函数（如双曲正切），可快速确定渐近线类型。

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