2025年考研数学三第12题

好的，我们先仔细分析题意，再一步步来解题，保证过程完整、易读。我们需要求出参数 \(a\)，使得反常积分结果等于 \(\ln 2\)。

题目给的积分为 \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2 x+a)} \, dx = \ln 2 \] 其中 \(a\) 是待定常数。

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**第一步：先进行待定系数分解**

为了积分简单，我们把被积函数写成部分分式：

设 \[ \frac{a}{x(2x+a)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x+a} \] 其中 \(A,B\) 是关于 \(a\) 的常数，将等式右边通分：

\[ \frac{A(2x+a) + Bx}{x(2x+a)} = \frac{a}{x(2x+a)} \] 比较分子： \[ A(2x+a) + Bx = a \] 即： \[ (2A+B)x + Aa = 0\cdot x + a \] 由此得到方程组： \[ \begin{cases} 2A + B = 0 \\ Aa = a \end{cases} \]

如果 \(a \neq 0\)，由第二式得 \(A=1\)，再由第一式得 \(B = -2\)。

于是： \[ \frac{a}{x(2x+a)} = \frac{1}{x} - \frac{2}{2x+a} \] 注意这处拆分对 \(a=0\) 是无效的，但显然若 \(a=0\) 左侧为 0，积分不可能等于 \(\ln 2\)，因此我们只考虑 \(a \neq 0\) 的情况，此时分解成立。

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**第二步：计算不定积分**

我们有： \[ \int \frac{a}{x(2x+a)} dx = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{2}{2x+a} \right) dx \] 第二项做换元也可以直接积分： \[ \int \frac{2}{2x+a} dx = \ln|2x+a| + C \] 因此： \[ \int \frac{a}{x(2x+a)} dx = \ln|x| - \ln|2x+a| + C = \ln \left| \frac{x}{2x+a} \right| + C \]

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**第三步：计算反常积分**

我们要算： \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2x+a)} dx = \lim_{t \to +\infty} \left[ \ln \left( \frac{x}{2x+a} \right) \right]_{1}^{t} \]

先看出当 \(x \to +\infty\) 时 \[ \frac{x}{2x+a} \to \frac{1}{2} \] 所以： \[ \lim_{t\to +\infty} \ln\frac{t}{2t+a} = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2 \]

在下限处： \[ \ln\frac{1}{2\cdot 1 + a} = \ln\frac{1}{2+a} \]

于是积分值为： \[ \left( -\ln 2 \right) - \ln\frac{1}{2+a} = -\ln 2 - \left( -\ln|2+a| \right) = -\ln 2 + \ln|2+a| \]

因此： \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2x+a)}dx = \ln\frac{|2+a|}{2} \]

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**第四步：根据已知条件求解 \(a\)**

题目条件说等于 \(\ln 2\)，因此： \[ \ln\frac{|2+a|}{2} = \ln 2 \] 得到： \[ \frac{|2+a|}{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad |2+a| = 4 \] 于是： \[ 2+a = 4 \quad\text{或}\quad 2+a = -4 \] 即： \[ a = 2 \quad\text{或}\quad a = -6 \]

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**第五步：检查合理性**

- 若 \(a=2\)，则原积分变为 \(\int_1^\infty \frac{2}{x(2x+2)}dx = \int_1^\infty \frac{1}{x(x+1)} dx\)，积分收敛且正值，结果等于\(\ln 2\)，合理。 - 若 \(a=-6\)，分母 \(2x+a = 2x-6\)，在积分区间 \(x\ge 1\) 内，当 \(x=3\) 时为零，出现瑕点，反常积分发散（或需分主值处理），但常规黎曼反常积分在此发散，因此不成立。

因此有效解为： \[ \boxed{2} \]

这样就完成了完整求解过程。