2025年考研数学三第1题

首先，分析选项A：当$x \to 0$时，$e^{-\sin x} - 1$与$x$的等价性。 利用等价无穷小替换：当$u \to 0$时，$e^u - 1 \sim u$。这里$u = -\sin x$，当$x \to 0$时，$\sin x \to 0$，故$u \to 0$。因此， $$ e^{-\sin x} - 1 \sim -\sin x. $$ 又因为当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，所以 $$ -\sin x \sim -x. $$ 于是， $$ e^{-\sin x} - 1 \sim -x. $$ 现在比较$e^{-\sin x} - 1$与$x$的比值： $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{-\sin x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{x} = -1 \neq 1. $$ 由于等价无穷小的定义要求比值的极限为1，而这里极限为$-1$，因此$e^{-\sin x} - 1$与$x$不是等价无穷小，而是同阶但不等价。所以选项A错误。

分析选项B：当$x \to 0$时，$\sqrt{x+1} - \cos x$与$x$的等价性。首先将$\sqrt{x+1}$展开为泰勒级数：$\sqrt{x+1} = (1+x)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}x + o(x)$。再将$\cos x$展开：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$。两式相减得：$\sqrt{x+1} - \cos x = \left(1 + \frac{1}{2}x + o(x)\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = \frac{1}{2}x + \frac{x^2}{2} + o(x)$。由于$x^2$项相对于$x$是高阶无穷小，因此主要项为$\frac{1}{2}x$。计算极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x + o(x)}{x} = \frac{1}{2}$。因为极限为$\frac{1}{2} \neq 1$，所以$\sqrt{x+1} - \cos x$与$x$不是等价无穷小，而是同阶但不等价。因此选项B不正确。

分析选项C：极限 $\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos\sqrt{2x}}{x}$。 首先，当 $x \to 0^+$ 时，$\sqrt{2x} \to 0$，因此可以使用等价无穷小替换：当 $u \to 0$ 时，$1 - \cos u \sim \frac{1}{2}u^2$。令 $u = \sqrt{2x}$，则 $u^2 = 2x$。于是 $$ 1 - \cos\sqrt{2x} \sim \frac{1}{2} (\sqrt{2x})^2 = \frac{1}{2} \cdot 2x = x. $$ 因此， $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos\sqrt{2x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1. $$ 由于极限值为1，说明分子与分母是等价无穷小，即 $1 - \cos\sqrt{2x}$ 与 $x$ 是等价无穷小。因此选项C正确。 注意：这里 $x \to 0^+$ 是因为根号内 $2x$ 要求 $x \geq 0$，但极限过程只考虑右极限，不影响等价无穷小的结论。

分析选项D：当$x \to 0$时，$1 - \frac{\ln(1+x)}{x}$与$x$的等价性。 首先，将$\ln(1+x)$在$x=0$处展开为泰勒级数： $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$ 取到二阶无穷小，有 $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$ 代入表达式$1 - \frac{\ln(1+x)}{x}$中： $$1 - \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 - \frac{x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x} = 1 - \left(1 - \frac{x}{2} + o(x)\right) = \frac{x}{2} + o(x)$$ 因此，当$x \to 0$时，$1 - \frac{\ln(1+x)}{x} \sim \frac{x}{2}$，即与$x$的比值为$\frac{1}{2}$，不是等价无穷小（等价要求比值的极限为1）。所以选项D不正确。