2025年考研数学三第3题
📝 题目
已知 $k$ 为常数，则级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left[\displaystyle\frac{1}{n}-\ln \left(1+\displaystyle\frac{k}{n^{2}}\right)\right]$（ ）
A
绝对收敛
B
条件收敛
C
发散
D
敛散性与 $k$ 的取值相关
💡 答案解析
## 【解析】
当 $k=0$ 时，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \displaystyle\frac{1}{n}$ 条件收敛 当 $k \neq 0$ 时，原级数为 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \ln \left(1+\displaystyle\frac{k}{n^{2}}\right)$ 为条件收敛 十 绝对收敛 故原级数条件收玫
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析绝对值级数的敛散性
首先考虑原级数的绝对值级数：$\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^n\left[\frac{1}{n}-\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\right]\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{n}-\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\right|$。由于$n$充分大时，$\frac{k}{n^2}$很小，可以对$\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)$进行泰勒展开：$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$，取$x=\frac{k}{n^2}$，得$$\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)=\frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{2n^4}+\frac{k^3}{3n^6}-\cdots$$。因此$$\frac{1}{n}-\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)=\frac{1}{n}-\frac{k}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)$$。当$n\to\infty$时，主项为$\frac{1}{n}$，而$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散（调和级数）。由于$\frac{1}{n}-\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\sim\frac{1}{n}$（当$n\to\infty$），根据比较判别法的极限形式，正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{n}-\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\right|$发散。因此原级数非绝对收敛。
公式：$$\frac{1}{n}-\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)=\frac{1}{n}-\frac{k}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)\sim\frac{1}{n}\quad(n\to\infty)$$
提示：对含对数项进行泰勒展开时，注意展开到足够高阶以确定主项。
步骤 2/3
目标：判断原交错级数的收敛性
原交错级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n} - \ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right) \right)$，其中 $k>0$。记 $a_n = \frac{1}{n} - \ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)$。首先验证 $a_n > 0$ 且 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。由泰勒展开，当 $x\to 0$ 时，$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$，取 $x = \frac{k}{n^2}$，则
$$
\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right) = \frac{k}{n^2} - \frac{k^2}{2n^4} + O\left(\frac{1}{n^6}\right),
$$
因此
$$
a_n = \frac{1}{n} - \frac{k}{n^2} + \frac{k^2}{2n^4} + O\left(\frac{1}{n^6}\right) \sim \frac{1}{n} > 0 \quad (n\to\infty).
$$
显然 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。
接下来证明 $a_n$ 从某项起单调递减。考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x} - \ln\left(1+\frac{k}{x^2}\right)$，$x>0$。求导得
$$
f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+\frac{k}{x^2}} \cdot \left(-\frac{2k}{x^3}\right) = -\frac{1}{x^2} + \frac{2k}{x^3 + kx}.
$$
通分后
$$
f'(x) = \frac{- (x^3 + kx) + 2k x}{x^2 (x^3 + kx)} = \frac{-x^3 + kx}{x^3 (x^2 + k)} = \frac{x(k - x^2)}{x^3 (x^2 + k)} = \frac{k - x^2}{x^2 (x^2 + k)}.
$$
当 $x > \sqrt{k}$ 时，$f'(x) < 0$，故 $f(x)$ 在 $(\sqrt{k}, +\infty)$ 上严格递减。取 $N = \lfloor \sqrt{k} \rfloor + 1$，则当 $n \geq N$ 时，$a_n = f(n)$ 严格递减。因此数列 $\{a_n\}$ 从第 $N$ 项起单调递减趋于 $0$。
由莱布尼茨判别法，交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 收敛。
公式：$$a_n = \frac{1}{n} - \ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right), \quad f'(x) = \frac{k - x^2}{x^2 (x^2 + k)}$$
提示：利用泰勒展开判断通项符号和阶，通过导数分析单调性，注意 $n$ 充分大时条件成立即可。
步骤 3/3
目标：综合结论并判断与k的关系
在前两步中，我们已分别分析了原级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^k}$的绝对收敛性和条件收敛性。具体地：
1. **绝对收敛性**：考察绝对值级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^k}$。由$p$级数敛散性知，当$k>1$时该级数收敛，当$k\leq 1$时发散。
2. **原级数收敛性**：对于交错级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^k}$，当$k>0$时，通项$\frac{1}{n^k}$单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛；当$k\leq 0$时，通项不趋于0，原级数发散。
综合以上两点：
- 当$k>1$时，绝对值级数收敛，故原级数绝对收敛。
- 当$0
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^k} \text{ 条件收敛当且仅当 } 0
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛的k范围，条件收敛仅发生在0
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