2025年考研数学三第8题
📝 题目
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(-1,1), Y$ 服从正态分布 $N(1,2)$ ，若 $X$ 与 $X+2 Y$ 不相关，则 $X$与 $X-Y$ 的相关系数为（ ）
A
$\displaystyle \frac{1}{3}$
B
$\displaystyle \frac{1}{2}$
C
$\displaystyle \frac{2}{3}$
D
$\displaystyle \frac{3}{4}$
💡 答案解析
## 【解析】
$$ \begin{aligned} & \operatorname{Cov}(X, X+2 Y)=\operatorname{Cov}(X, X)+2 \operatorname{Cov}(X, Y)=0 \\ & =D X+2 \operatorname{Cov}(X, Y)=0 \\ & \operatorname{Cov}(X, Y)=-\frac{1}{2} D X=-\frac{1}{2} \\ & \operatorname{Cov}(X, X-Y)=\operatorname{Cov}(X, X)-\operatorname{Cov}(X, Y)=D X-\operatorname{Cov}(X, Y)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \\ & D(X-Y)=D X+D Y-2 \operatorname{Cov}(X, Y)=1+2-2\left(-\frac{1}{2}\right)=4 \\ & D X=1 \quad \therefore \rho_{X, X-Y}=\frac{\frac{3}{2}}{2 \times 1}=\frac{3}{4} . \end{aligned} $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用不相关条件建立方程
已知随机变量 $X$ 与 $X+2Y$ 不相关，根据不相关的定义，其协方差为零，即 $\operatorname{Cov}(X, X+2Y)=0$。
利用协方差的线性性质展开：
$$\operatorname{Cov}(X, X+2Y) = \operatorname{Cov}(X, X) + \operatorname{Cov}(X, 2Y) = \operatorname{Var}(X) + 2\operatorname{Cov}(X, Y).$$
由条件 $\operatorname{Var}(X)=1$，代入上式得：
$$1 + 2\operatorname{Cov}(X, Y) = 0.$$
解此方程：
$$2\operatorname{Cov}(X, Y) = -1, \quad \operatorname{Cov}(X, Y) = -\frac{1}{2}.$$
因此，通过不相关条件建立了关于协方差的关键方程，求出了 $\operatorname{Cov}(X, Y) = -\frac{1}{2}$。
公式：$$\operatorname{Cov}(X, X+2Y) = \operatorname{Var}(X) + 2\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$$
提示：注意协方差线性展开时常数因子要正确提取，不相关即协方差为0。
步骤 2/4
目标：计算Cov(X, X-Y)
我们需要计算协方差 $\operatorname{Cov}(X, X-Y)$。根据协方差的线性性质，有：
$$\operatorname{Cov}(X, X-Y) = \operatorname{Cov}(X, X) - \operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{Var}(X) - \operatorname{Cov}(X, Y).$$
已知 $\operatorname{Var}(X) = 1$，且由上一题或已知条件得 $\operatorname{Cov}(X, Y) = -\frac{1}{2}$。代入上式：
$$\operatorname{Cov}(X, X-Y) = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.$$
因此，$\operatorname{Cov}(X, X-Y) = \frac{3}{2}$。
公式：\operatorname{Cov}(X, X-Y) = \operatorname{Var}(X) - \operatorname{Cov}(X, Y)
提示：利用协方差的线性性质直接展开，注意负号处理。
步骤 3/4
目标：计算Var(X-Y)
本步骤的目标是计算随机变量$X-Y$的方差$\text{Var}(X-Y)$。根据方差的性质，对于任意两个随机变量$X$和$Y$，有：
$$\text{Var}(X-Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)$$
其中$\text{Cov}(X,Y)$表示$X$与$Y$的协方差。
由题目已知条件（或前序步骤结果）：
- $\text{Var}(X) = 1$
- $\text{Var}(Y) = 2$
- $\text{Cov}(X,Y) = -\frac{1}{2}$
代入公式得：
$$\text{Var}(X-Y) = 1 + 2 - 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 2 + 1 = 4$$
因此，$\text{Var}(X-Y) = 4$。该结果将用于后续步骤（如计算相关系数或进行概率推断）。
公式：$$\text{Var}(X-Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)$$
提示：牢记方差差公式中的符号：Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)，注意协方差的正负。
步骤 4/4
目标：计算相关系数并选择答案
根据前几步的计算结果，已知 $\operatorname{Cov}(X, X-Y) = \frac{3}{2}$，$\operatorname{Var}(X) = 1$，$\operatorname{Var}(X-Y) = 4$。相关系数的定义为：
$$
\rho_{X, X-Y} = \frac{\operatorname{Cov}(X, X-Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \cdot \operatorname{Var}(X-Y)}}.
$$
代入数值：
$$
\rho = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{1 \times 4}} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}.
$$
因此，随机变量 $X$ 与 $X-Y$ 的相关系数为 $\frac{3}{4}$，对应选项 D。
验证：相关系数的取值范围为 $[-1,1]$，$\frac{3}{4}$ 在此范围内，且计算过程无误。最终答案为 D。
公式：$$\rho_{X, X-Y} = \frac{\operatorname{Cov}(X, X-Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \cdot \operatorname{Var}(X-Y)}}$$
提示：代入数值时注意先化简分子分母，避免小数计算错误。
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