2025年考研数学三第9题 - mathabc.xyz

📝 题目

设 $x_{1}, x_{2} \cdots x_{20}$ 是来自总体 $B(1,0.1)$ 的简单随机样本，令 $T=\displaystyle\sum_{i=1}^{20} x$ ，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 $P\{T \leq 1\} \approx$（）

A

$\displaystyle \frac{1}{e^{2}}$

B

$\displaystyle \frac{2}{e^{2}}$

C

$\displaystyle \frac{3}{e^{2}}$

D

$\displaystyle \frac{4}{e^{2}}$

💡 答案解析

**答案**: （C） $1-\cos \sqrt{2 x}$

（B）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，$(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点

（B）条件收敛（4）（D） $\displaystyle\int_{0}^{1}(1-x) f(x) d x$

（A）当 $k=m$ 时 $A x=\beta$ 有解

（B）必要但不充分条件

（B）$(2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$

（D）$\displaystyle\frac{3}{4}$

（C）$\displaystyle\frac{3}{e^{2}}$

（C）$\displaystyle\frac{1}{n} F(x)(1-F(x))$

填空题： $11 \sim 16$ 小题，每小题 5 分，共 30 分．

渐近线方程为 $y=3$ 和 $y=-3$ ．

$a=2$

$y=-x e^{x}$

$\displaystyle\frac{1}{8 e^{2}}$

2

$\displaystyle\frac{2}{3}$ 三、解答题： $17 \sim 22$ 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17） $\displaystyle\frac{3}{10} \ln 2+\displaystyle\frac{\pi}{10}$

$f(0)=2, f^{\prime}(0)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)-2}{x}=5$

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**解析**:

$\displaystyle\frac{71}{210}$ （21）（1）$a=1$ ；（2）$\alpha=(1,-1,1)^{T}, \quad \beta=(-1,0,1)^{T}, \quad H=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2\end{array}\right]$ ．（22）（I）$P\{Y\gt 0\}=\displaystyle\frac{1}{4}, E(Y)=50$ ；（II）$P\{M=m\}=\displaystyle\frac{e^{-2} 2^{m}}{m!}, m=0,1,2 \cdots$

📋 详细解题步骤

步骤 1/2

目标：确定二项分布参数及泊松近似条件

由题意，每个随机变量 $x_i$ 服从参数为 $p=0.1$ 的伯努利分布，即 $x_i \sim B(1, 0.1)$。因此，$T = \sum_{i=1}^{20} x_i$ 是20个独立同分布的伯努利随机变量之和，故 $T$ 服从二项分布，参数为 $n=20$，$p=0.1$，即 $T \sim B(20, 0.1)$。泊松分布常用于近似二项分布，其适用条件为：试验次数 $n$ 较大，且成功概率 $p$ 较小。通常要求 $n \geq 20$ 且 $p \leq 0.1$，或者 $np \leq 5$ 时近似效果较好。本题中 $n=20$，$p=0.1$，满足 $n$ 较大、$p$ 较小的条件，因此可以用泊松分布近似。泊松分布的参数 $\lambda = np = 20 \times 0.1 = 2$。于是，$T$ 近似服从参数为 $\lambda=2$ 的泊松分布，即 $T \approx \text{Poisson}(2)$。本步骤的关键是正确识别二项分布的参数，并验证泊松近似的条件是否满足，为后续计算概率奠定基础。

公式：$$T \sim B(n=20, p=0.1), \quad \lambda = np = 2$$

提示：牢记泊松近似条件：n≥20且p≤0.1，λ=np是关键参数。

步骤 2/2

目标：利用泊松分布计算概率并选择答案

根据步骤1的结论，当$n=100$，$p=0.02$时，二项分布$B(100,0.02)$可近似为泊松分布$P(\lambda)$，其中$\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$。题目要求计算$P\{T \leq 1\}$，即$T$取值为0或1的概率。在泊松分布近似下，有： $$P\{T \leq 1\} \approx P\{\text{Poisson}(\lambda=2) \leq 1\} = P(X=0) + P(X=1)$$ 泊松分布的概率质量函数为： $$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots$$ 代入$\lambda=2$： - 当$k=0$时：$P(X=0) = \frac{e^{-2} \cdot 2^0}{0!} = e^{-2}$ - 当$k=1$时：$P(X=1) = \frac{e^{-2} \cdot 2^1}{1!} = 2e^{-2}$ 因此： $$P\{T \leq 1\} \approx e^{-2} + 2e^{-2} = 3e^{-2} = \frac{3}{e^2}$$ 对照选项，该结果对应选项C。 **验证**：直接计算二项分布精确值（虽繁琐但可验证近似合理性）： $$P(T=0) = C_{100}^0 (0.02)^0 (0.98)^{100} \approx 0.1326$$ $$P(T=1) = C_{100}^1 (0.02)^1 (0.98)^{99} \approx 0.2707$$ $$P(T \leq 1) \approx 0.4033$$ 而$3/e^2 \approx 3/7.389 \approx 0.4060$，两者非常接近，故近似有效。最终答案：选项C。

公式：P\{T \leq 1\} \approx e^{-2} + 2e^{-2} = \frac{3}{e^2}

提示：牢记泊松近似λ=np，且P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)，不要遗漏项。

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