2026年考研数学三第14题

首先，我们考虑给定的二阶常系数线性齐次微分方程。其一般形式为 $y'' - 2y' = 0$。对于这类方程，我们采用特征方程法求解。设 $y = e^{rx}$，代入原方程，得到特征方程：$r^2 - 2r = 0$。提取公因子 $r$，得 $r(r - 2) = 0$。因此，特征根为 $r_1 = 0$，$r_2 = 2$。这两个根均为实单根。根据线性微分方程解的结构理论，每个特征根 $r$ 对应一个线性无关的解 $e^{rx}$。于是，齐次方程的两个线性无关的特解为 $y_1 = e^{0 \cdot x} = 1$ 和 $y_2 = e^{2x}$。因此，齐次方程的通解为这两个特解的线性组合：$$y_h = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot e^{2x} = C_1 + C_2 e^{2x},$$ 其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。至此，我们完成了齐次方程通解的求解。

在求解二阶常系数非齐次线性微分方程时，确定特解的形式是关键步骤。本题中，非齐次项为 $e^x$，对应的特征方程为 $r^2 - 2r = 0$，特征根为 $r_1 = 0$，$r_2 = 2$。由于非齐次项 $e^x$ 中的指数系数 $1$ 既不是 $0$ 也不是 $2$，即不是特征根，因此特解形式可以直接设为与 $e^x$ 同类型的函数，即 $y_p = A e^x$，其中 $A$ 为待定常数。这种设法的依据是：当非齐次项为 $P_m(x) e^{\lambda x}$ 且 $\lambda$ 不是特征根时，特解形式为 $Q_m(x) e^{\lambda x}$，这里 $P_m(x)$ 是 $m$ 次多项式，本题中 $P_m(x) = 1$（零次多项式），故 $Q_m(x)$ 也是零次多项式，即常数 $A$。因此，我们设 $y_p = A e^x$。

我们已经设定了非齐次方程 $y'' - 2y' = e^x$ 的一个特解形式为 $y_p = A e^x$，其中 $A$ 是待定系数。接下来，我们需要将 $y_p$ 代入原方程，通过比较系数来确定 $A$ 的值。 首先，计算 $y_p$ 的一阶导数和二阶导数： $$y_p' = A e^x, \quad y_p'' = A e^x.$$ 将 $y_p$、$y_p'$ 和 $y_p''$ 代入原方程 $y'' - 2y' = e^x$，得到： $$A e^x - 2(A e^x) = e^x.$$ 化简左边： $$A e^x - 2A e^x = (A - 2A)e^x = -A e^x.$$ 因此方程化为： $$-A e^x = e^x.$$ 由于 $e^x \neq 0$，两边同时除以 $e^x$ 得： $$-A = 1,$$ 解得： $$A = -1.$$ 所以，非齐次方程的一个特解为： $$y_p = -e^x.$$ 至此，我们成功确定了特解的系数。在后续步骤中，我们将结合齐次方程的通解，写出原方程的通解形式。

根据线性微分方程解的结构，非齐次方程的通解等于其对应的齐次方程的通解加上一个特解。 首先，写出齐次方程的通解。由前一步骤已知，齐次方程的特征方程为 $r^2 - 2r = 0$，解得特征根 $r_1 = 0$，$r_2 = 2$。因此齐次方程的通解为： $$ y_h = C_1 e^{0 \cdot x} + C_2 e^{2x} = C_1 + C_2 e^{2x} $$ 其中 $C_1$、$C_2$ 为任意常数。 其次，写出非齐次方程的一个特解。由前一步骤已求得特解为 $y_p = -e^x$。 最后，将齐次通解与特解相加，得到非齐次方程的通解： $$ y = y_h + y_p = C_1 + C_2 e^{2x} - e^x $$ 此即为所求的非齐次方程的通解。

已知微分方程的通解为 $y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} - 1$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是待定常数。题目给出的初始条件为 $y(0) = 1$ 和 $y'(0) = 1$。 首先，将 $x=0$ 代入通解表达式： $$y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} - 1 = C_1 + C_2 - 1.$$ 由 $y(0)=1$ 得方程： $$C_1 + C_2 - 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad C_1 + C_2 = 2. \tag{1}$$ 其次，对通解求导得到 $y'(x)$： $$y'(x) = C_1 e^{x} + 2C_2 e^{2x}.$$ 将 $x=0$ 代入： $$y'(0) = C_1 e^{0} + 2C_2 e^{0} = C_1 + 2C_2.$$ 由 $y'(0)=1$ 得方程： $$C_1 + 2C_2 = 1. \tag{2}$$ 联立方程 (1) 和 (2)： \begin{cases} C_1 + C_2 = 2, \\ C_1 + 2C_2 = 1. \end{cases} 用 (2) 减去 (1) 得： $$(C_1 + 2C_2) - (C_1 + C_2) = 1 - 2 \quad \Rightarrow \quad C_2 = -1.$$ 将 $C_2 = -1$ 代入 (1)： $$C_1 + (-1) = 2 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 3.$$ 因此，满足初始条件的常数解为 $C_1 = 3$，$C_2 = -1$。

我们已经求出了通解 $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^x + 1$，并利用初始条件 $y(0)=1$ 和 $y'(0)=1$ 确定了常数 $C_1$ 和 $C_2$。 首先，由 $y(0)=1$ 代入得： $$1 = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} + 1 = C_1 + C_2 + 1$$ 所以 $C_1 + C_2 = 0$。 其次，求导得 $y' = 2C_1 e^{2x} + C_2 e^x$，代入 $y'(0)=1$ 得： $$1 = 2C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = 2C_1 + C_2$$ 联立方程组： $$ \begin{cases} C_1 + C_2 = 0 \\ 2C_1 + C_2 = 1 \end{cases} $$ 两式相减得 $(2C_1 + C_2) - (C_1 + C_2) = 1 - 0$，即 $C_1 = 1$。代入 $C_1 + C_2 = 0$ 得 $C_2 = -1$。 因此，满足初始条件的特解为： $$y = 1 \cdot e^{2x} + (-1) \cdot e^x + 1 = e^{2x} - e^x + 1$$ **验证**：计算 $y(0) = e^{0} - e^{0} + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$，符合初始条件。求导得 $y' = 2e^{2x} - e^x$，则 $y'(0) = 2 - 1 = 1$，也符合初始条件。因此特解正确。 最终答案为： $$\boxed{y = e^{2x} - e^x + 1}$$