曲线 $y=x \mathrm{e}^{\displaystyle\frac{1}{x}}$（ ）
设函数 $\mathrm{z}=\mathrm{z}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 由方程 $\mathrm{x}-\mathrm{az}=\mathrm{e}^{\mathrm{y}+\mathrm{az}}$（a 是非零常数）确定，则（ ）。
已知函数 $f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x^{3}} \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{t}}{1+t^{2}} \mathrm{~d} t, \mathrm{f}$ 的反函数为 $g$ ，则（ ）。
设 $t$ 时刻某证券的交易单价为 $\mathrm{p}(\mathrm{t})$ ，某机构持有该证券的份额为 $\mathrm{q}(\mathrm{t})$ ，若该机构在 $\mathrm{t} \in[0, \mathrm{~T}]$ 持续购入一定份额该证券，则这些证券的平均购入价格为
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ a & b\end{array}\right)$ ，若存在矩阵 $\mathbf{B}$ 满足 $\mathbf{A B}=\mathbf{C}$ ，则（ ）。
设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶非零矩阵， $\mathbf{A}^{*}$ 为 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵，若 $\mathbf{A}^{*}=-2 \mathbf{A}$ ，则 $\mathbf{A}^{2}=$（ ）。
设 3 阶矩阵 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ 满足 $\mathbf{A B}+\mathbf{B A}=\mathbf{A}^{2}+\mathbf{B}^{2}$ ，且 $\mathbf{A} \neq \mathbf{B}$ ，则下列结论错误的是（ ）。
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立分布， $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{1}{(1+x)^{2}}, x\gt 0 \\ 0, \quad x \leq 0\end{array}\right.$ ，则 $\mathrm{P}\{\mathrm{XY} \leqslant 1\}=$ （ ）。\r
设随机变量 $\mathrm{X} \sim \mathrm{N}(0,1)$ ，随机变量 $Y \sim B\left(2, \displaystyle\frac{1}{2}\right)$ ，且$ X$ 与 $Y$ 独立，则 $XY$ 与 $\mathrm{X}+\mathrm{Y}$ 的相关系数为\r
设随机变量 X 的概率分布为 $P\{X=k\}=\displaystyle\frac{1}{2^{k+1}}+\displaystyle\frac{1}{3^{k}}(k=1,2, \cdots)$ ，则对于正整数 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ ，有
$\displaystyle\int_{0}^{1} x(x-1)\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right) \mathrm{d} x=$
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{x}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\sin x}-\displaystyle\frac{1}{\tan x}\right)=$
设 p 为常数，若反常积分 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{\arctan x}{x^{p}(x+1)} \mathrm{d} x$ 收敛，则 p 的取值范围是 $\_\_\_\_$。
微分方程 $\mathrm{y}^{\prime \prime}-2 \mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 满足条件 $\mathrm{y}(0)=1, \mathrm{y}^{\prime}(0)=1$ 的解为 $\mathrm{y}=$ $\_\_\_\_$。
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & b & -1 \\ a+2 & 3 & -3 a\end{array}\right)$ ，若二次型 $\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{A A}^{\mathrm{T}}\right) \mathbf{x}$ 的规范形为 $\mathrm{y}_{1}{ }^{2}$ ，则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$。
设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，随机变量 Y 服从参数为 3 的泊松分布， X 与 $\mathrm{Y}-\mathrm{X}$ 相互独立，则 $\mathrm{E}(\mathrm{XY})=$ $\_\_\_\_$。
（本题满分 10 分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{(2-x)^{2}}-\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，将 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 展开成 $x$ 的幂级数。
（本题满分 12 分）已知函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 连续。设 $f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x^{2}} g(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ 的表达式，并判断 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性。
（本题满分 12 分）设平面区域 $\mathrm{D}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \mid 0 \leqslant \mathrm{x} \leqslant 1,0 \leqslant \mathrm{y} \leqslant 1\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D} \displaystyle\frac{y}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\displaystyle\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（本题满分 12 分）设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a & 2 & 3\end{array}\right)$ 的秩为 2 ． （1）求 $a$ 的值． （2）求 $A$ 的列向量组的一个极大线性无关组 $\alpha, \beta$ ，并求矩阵 $H$ ，使得 $A=G H$ ，其中 $G=(\alpha, \beta)$ ．
（本题满分 12 分）假设某种元件的寿命服从指数分布，其均值 $\theta$ 是未知参数。为了估计 $\theta$ ，取 $n$个这种元件同时做寿命试验，试验到出现 $k(1 \leqslant k \leqslant n)$ 个元件失效时停止。 （1）若 $\mathrm{k}=1$ ，失效元件的寿命记为 T ，（i）求 T 的概率密度；（ii）确定 a ，使得 $\hat{\theta}=a T$ 是 $\theta$ 的无偏估计，并求 $D(\hat{\theta})$ ； （2）已知 $k$ 个失效元件的寿命值分别为 $t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{k}$ ，且 $t_{1} \leqslant t_{2} \leqslant \cdots \leqslant t_{k}$ ，似然函数为 $L(\theta)=\displaystyle\frac{1}{\theta^{k}} e^{-\displaystyle\frac{1}{\theta}\left[\displaystyle\sum_{i=1}^{k} t_{i}+(n-k) t_{k}\right]}$ ，求 $\theta$ 的最大似然估计值。