2026年考研数学三第10题

由题意，随机变量$X$的分布律为：$P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{3^k}$，其中$k=0,1,2,\ldots$。我们需要计算$P\{X>m\}$，即$X$取值大于$m$的概率。根据概率的加法公式，$P\{X>m\}=\sum_{k=m+1}^{\infty}P\{X=k\}=\sum_{k=m+1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{3^k}\right)$。将求和拆分为两个级数之和： $$P\{X>m\}=\sum_{k=m+1}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}+\sum_{k=m+1}^{\infty}\frac{1}{3^k}.$$ 对于第一个级数，令$j=k+1$，则当$k=m+1$时$j=m+2$，于是 $$\sum_{k=m+1}^{\infty}\frac{1}{2^{k+1}}=\sum_{j=m+2}^{\infty}\frac{1}{2^j}=\frac{1}{2^{m+2}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2^{m+2}}\cdot2=\frac{1}{2^{m+1}}.$$ 对于第二个级数， $$\sum_{k=m+1}^{\infty}\frac{1}{3^k}=\frac{1}{3^{m+1}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3^{m+1}}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1}{2\cdot3^m}.$$ 因此， $$P\{X>m\}=\frac{1}{2^{m+1}}+\frac{1}{2\cdot3^m}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^m}+\frac{1}{3^m}\right).$$ 这样我们就得到了$P\{X>m\}$的简洁表达式。

由步骤1已知，对于任意正整数$k$，有$P\{X > k\} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k}\right)$。现在将$k$替换为$m+n$，其中$m$和$n$均为正整数。直接代入得： $$P\{X > m+n\} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^{m+n}} + \frac{1}{3^{m+n}}\right).$$ 此表达式即为所求。注意，这里$m$和$n$是任意正整数，因此该公式对任意$m,n \in \mathbb{N}^+$均成立。

根据条件概率的定义，对于事件A和B，有$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$。这里令$A=\{X>m+n\}$，$B=\{X>m\}$。由于$m>0$，$n>0$，事件$\{X>m+n\}$蕴含事件$\{X>m\}$，即$A\subseteq B$，因此$A\cap B=A$。于是条件概率化为： $$P\{X>m+n|X>m\}=\frac{P\{X>m+n\}}{P\{X>m\}}.$$ 由前一步骤已知，随机变量X的概率分布为$P\{X=k\}=\frac{1}{2^k}+\frac{1}{3^k}$，$k=1,2,\ldots$。则对于任意正整数t，有 $$P\{X>t\}=\sum_{k=t+1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^k}+\frac{1}{3^k}\right)=\sum_{k=t+1}^{\infty}\frac{1}{2^k}+\sum_{k=t+1}^{\infty}\frac{1}{3^k}.$$ 利用等比数列求和公式： $$\sum_{k=t+1}^{\infty}\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^{t+1}}\cdot\frac{1}{1-\frac12}=\frac{1}{2^t},$$ $$\sum_{k=t+1}^{\infty}\frac{1}{3^k}=\frac{1}{3^{t+1}}\cdot\frac{1}{1-\frac13}=\frac{1}{2\cdot3^t}.$$ 因此 $$P\{X>t\}=\frac{1}{2^t}+\frac{1}{2\cdot3^t}.$$ 分别代入$t=m+n$和$t=m$，得： $$P\{X>m+n\}=\frac{1}{2^{m+n}}+\frac{1}{2\cdot3^{m+n}},$$ $$P\{X>m\}=\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2\cdot3^m}.$$ 于是条件概率为： $$P\{X>m+n|X>m\}=\frac{\frac{1}{2^{m+n}}+\frac{1}{2\cdot3^{m+n}}}{\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2\cdot3^m}}.$$ 分子分母同时乘以$2\cdot2^m\cdot3^m$以化简： 分子乘以$2\cdot2^m\cdot3^m$得： $$2\cdot2^m\cdot3^m\cdot\left(\frac{1}{2^{m+n}}+\frac{1}{2\cdot3^{m+n}}\right)=2\cdot2^m\cdot3^m\cdot\frac{1}{2^{m+n}}+2\cdot2^m\cdot3^m\cdot\frac{1}{2\cdot3^{m+n}}$$ $$=\frac{2\cdot3^m}{2^n}+\frac{2^m\cdot3^m}{3^{m+n}}=\frac{2\cdot3^m}{2^n}+\frac{2^m}{3^n}.$$ 分母乘以$2\cdot2^m\cdot3^m$得： $$2\cdot2^m\cdot3^m\cdot\left(\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2\cdot3^m}\right)=2\cdot3^m+2^m.$$ 因此 $$P\{X>m+n|X>m\}=\frac{\frac{2\cdot3^m}{2^n}+\frac{2^m}{3^n}}{2\cdot3^m+2^m}.$$ 分子分母同时除以2（或提取公因子2），得到题目所给形式： $$P\{X>m+n|X>m\}=\frac{\frac{3^m}{2^n}+\frac{2^m}{3^n}}{3^m+2^m}.$$ 至此，条件概率已化简为所需表达式。

我们需要比较条件概率 $P\{X > m+n \mid X > m\}$ 与 $P\{X > m\}$ 的大小。由条件概率公式： $$P\{X > m+n \mid X > m\} = \frac{P\{X > m+n, X > m\}}{P\{X > m\}} = \frac{P\{X > m+n\}}{P\{X > m\}}$$ 因为事件 $\{X > m+n\}$ 蕴含事件 $\{X > m\}$，所以分子为 $P\{X > m+n\}$。 考虑差值： $$\Delta = P\{X > m+n \mid X > m\} - P\{X > m\} = \frac{P\{X > m+n\}}{P\{X > m\}} - P\{X > m\}$$ 通分得： $$\Delta = \frac{P\{X > m+n\} - [P\{X > m\}]^2}{P\{X > m\}}$$ 由于 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，其分布函数为 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$（$x>0$），因此： $$P\{X > m\} = e^{-\lambda m}, \quad P\{X > m+n\} = e^{-\lambda (m+n)}$$ 代入得： $$\Delta = \frac{e^{-\lambda (m+n)} - (e^{-\lambda m})^2}{e^{-\lambda m}} = \frac{e^{-\lambda (m+n)} - e^{-2\lambda m}}{e^{-\lambda m}} = e^{-\lambda n} - e^{-\lambda m}$$ 由于 $m < n$（题目条件），且 $\lambda > 0$，指数函数 $e^{-\lambda x}$ 是 $x$ 的减函数，所以 $e^{-\lambda n} < e^{-\lambda m}$，从而 $\Delta < 0$。 因此 $P\{X > m+n \mid X > m\} < P\{X > m\}$，即条件概率小于无条件概率。根据题目选项，A和C均表示条件概率大于或等于无条件概率，故排除A和C。

我们需要比较条件概率 $P\{X > m+n \mid X > m\}$ 与 $P\{X > n\}$ 的大小。由前几步已知，$X$ 服从几何分布 $P\{X = k\} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}$，$k=1,2,\dots$。 首先计算 $P\{X > n\}$： $$P\{X > n\} = \sum_{k=n+1}^{\infty} P\{X = k\} = \frac{1}{2} \sum_{k=n+1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} + \frac{1}{2} \sum_{k=n+1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1/3)^n}{1-1/3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(2/3)^n}{1-2/3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3^n} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2^n}{3^n} = \frac{1}{4 \cdot 3^n} + \frac{3 \cdot 2^n}{2 \cdot 3^n} = \frac{1}{4 \cdot 3^n} + \frac{3 \cdot 2^n}{2 \cdot 3^n} = \frac{1 + 6 \cdot 2^n}{4 \cdot 3^n}$$ 再计算条件概率 $P\{X > m+n \mid X > m\}$。由几何分布的无记忆性推广，对于该混合分布，直接计算： $$P\{X > m+n \mid X > m\} = \frac{P\{X > m+n\}}{P\{X > m\}}$$ 利用上面 $P\{X > n\}$ 的表达式，有 $$P\{X > m\} = \frac{1 + 6 \cdot 2^m}{4 \cdot 3^m}, \quad P\{X > m+n\} = \frac{1 + 6 \cdot 2^{m+n}}{4 \cdot 3^{m+n}}$$ 因此 $$P\{X > m+n \mid X > m\} = \frac{1 + 6 \cdot 2^{m+n}}{4 \cdot 3^{m+n}} \cdot \frac{4 \cdot 3^m}{1 + 6 \cdot 2^m} = \frac{1 + 6 \cdot 2^{m+n}}{3^n (1 + 6 \cdot 2^m)}$$ 现在计算差值： $$\Delta = P\{X > m+n \mid X > m\} - P\{X > n\} = \frac{1 + 6 \cdot 2^{m+n}}{3^n (1 + 6 \cdot 2^m)} - \frac{1 + 6 \cdot 2^n}{4 \cdot 3^n}$$ 通分，公分母为 $4 \cdot 3^n (1 + 6 \cdot 2^m)$： $$\Delta = \frac{4(1 + 6 \cdot 2^{m+n}) - (1 + 6 \cdot 2^n)(1 + 6 \cdot 2^m)}{4 \cdot 3^n (1 + 6 \cdot 2^m)}$$ 展开分子： $$4 + 24 \cdot 2^{m+n} - \left[1 + 6 \cdot 2^m + 6 \cdot 2^n + 36 \cdot 2^{m+n}\right] = 4 + 24 \cdot 2^{m+n} - 1 - 6 \cdot 2^m - 6 \cdot 2^n - 36 \cdot 2^{m+n} = 3 - 6 \cdot 2^m - 6 \cdot 2^n - 12 \cdot 2^{m+n}$$ 注意到 $2^{m+n} = 2^m \cdot 2^n$，分子可写为： $$3 - 6 \cdot 2^m - 6 \cdot 2^n - 12 \cdot 2^m \cdot 2^n = 3(1 - 2 \cdot 2^m - 2 \cdot 2^n - 4 \cdot 2^m \cdot 2^n)$$ 但此式不易直接判断正负。回顾题目中给出的通分结果：$\frac{(3^m-2^m)(1/2^n-1/3^n)}{2(3^m+2^m)} > 0$，该形式更简洁。实际上，利用原始概率表达式 $P\{X > k\} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3^k} + \frac{2^k}{3^k} \right)$ 可简化计算。由前几步已知 $P\{X > k\} = \frac{3^k + 2^k}{2 \cdot 3^k}$，则 $$P\{X > m+n \mid X > m\} = \frac{P\{X > m+n\}}{P\{X > m\}} = \frac{3^{m+n} + 2^{m+n}}{2 \cdot 3^{m+n}} \cdot \frac{2 \cdot 3^m}{3^m + 2^m} = \frac{3^{m+n} + 2^{m+n}}{3^n (3^m + 2^m)}$$ 而 $P\{X > n\} = \frac{3^n + 2^n}{2 \cdot 3^n}$。于是 $$\Delta = \frac{3^{m+n} + 2^{m+n}}{3^n (3^m + 2^m)} - \frac{3^n + 2^n}{2 \cdot 3^n} = \frac{2(3^{m+n} + 2^{m+n}) - (3^n + 2^n)(3^m + 2^m)}{2 \cdot 3^n (3^m + 2^m)}$$ 分子展开： $$2 \cdot 3^{m+n} + 2 \cdot 2^{m+n} - (3^{m+n} + 3^n \cdot 2^m + 2^n \cdot 3^m + 2^{m+n}) = 3^{m+n} + 2^{m+n} - 3^n \cdot 2^m - 2^n \cdot 3^m$$ 因式分解： $$= 3^m \cdot 3^n + 2^m \cdot 2^n - 3^n \cdot 2^m - 2^n \cdot 3^m = (3^m - 2^m)(3^n - 2^n)$$ 注意 $3^n - 2^n = 2^n \left( \frac{3^n}{2^n} - 1 \right)$，而题目中给出的形式为 $(3^m-2^m)(1/2^n-1/3^n)$，实际上 $(3^n-2^n) = 3^n 2^n (1/2^n - 1/3^n)$，代入得分子为 $(3^m-2^m) \cdot 3^n 2^n (1/2^n - 1/3^n)$，分母为 $2 \cdot 3^n (3^m+2^m)$，约去 $3^n$ 得 $$\Delta = \frac{(3^m-2^m) \cdot 2^n (1/2^n - 1/3^n)}{2(3^m+2^m)} = \frac{(3^m-2^m)(1 - 2^n/3^n)}{2(3^m+2^m)} = \frac{(3^m-2^m)(1/2^n-1/3^n)}{2(3^m+2^m)} \cdot 2^n?$$ 实际上，$2^n(1/2^n - 1/3^n) = 1 - 2^n/3^n$，故 $$\Delta = \frac{(3^m-2^m)(1 - 2^n/3^n)}{2(3^m+2^m)}$$ 由于 $3^m > 2^m$，$1 - 2^n/3^n > 0$，分母 $2(3^m+2^m) > 0$，因此 $\Delta > 0$，即条件概率大于 $P\{X > n\}$。 因此，正确选项为 D。