2026年考研数学三第11题

为了简化积分计算，我们引入变量代换。令 $t = x - \frac{1}{2}$，则 $x = t + \frac{1}{2}$，且 $dx = dt$。原积分的积分限为 $x$ 从 $0$ 到 $1$，当 $x=0$ 时，$t = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$；当 $x=1$ 时，$t = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。因此，积分限变为 $t$ 从 $-\frac{1}{2}$ 到 $\frac{1}{2}$。经过代换后，原积分转化为关于 $t$ 的对称区间上的积分，这通常可以利用被积函数的奇偶性进一步简化。

将第一步中设定的变量代换 $x = t + \frac{1}{2}$ 代入被积函数 $x(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right)$ 中。 首先，分别计算三个因式： - 第一个因式：$x = t + \frac{1}{2}$ - 第二个因式：$x - 1 = \left(t + \frac{1}{2}\right) - 1 = t - \frac{1}{2}$ - 第三个因式：$x - \frac{1}{2} = \left(t + \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} = t$ 因此，被积函数变为： $$ \left(t + \frac{1}{2}\right) \left(t - \frac{1}{2}\right) t $$ 观察前两个因式，它们符合平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中 $a=t$，$b=\frac{1}{2}$，所以： $$ \left(t + \frac{1}{2}\right)\left(t - \frac{1}{2}\right) = t^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = t^2 - \frac{1}{4} $$ 再乘以第三个因式 $t$，得到： $$ \left(t^2 - \frac{1}{4}\right) t = t^3 - \frac{1}{4}t $$ 至此，代入完成，被积函数化简为 $t^3 - \frac{1}{4}t$。这一简化形式便于后续积分计算。

首先分析被积函数 $f(t) = \left(t^2 - \frac{1}{4}\right)t$ 的奇偶性。将函数展开得 $f(t) = t^3 - \frac{1}{4}t$。对于任意 $t$，计算 $f(-t) = (-t)^3 - \frac{1}{4}(-t) = -t^3 + \frac{1}{4}t = -\left(t^3 - \frac{1}{4}t\right) = -f(t)$。因此 $f(t)$ 是奇函数。积分区间为 $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$，这是一个关于原点对称的区间。根据奇函数在对称区间上的积分性质，有 $\int_{-a}^{a} f(t) \, dt = 0$（其中 $f(t)$ 为奇函数）。所以 $\int_{-1/2}^{1/2} \left(t^2 - \frac{1}{4}\right)t \, dt = 0$。这一结果与之前步骤中通过直接计算得到的结论一致，验证了积分的正确性。最终答案为 $0$。