2026年考研数学三第9题

首先，根据题目条件，随机变量$Y$服从二项分布$B(n=2, p=\frac{1}{2})$。二项分布描述的是在$n$次独立重复的伯努利试验中成功次数的分布，每次试验成功的概率为$p$。\n\n**概率分布计算**：\n$Y$的可能取值为$0,1,2$，其概率质量函数为：\n$$P(Y=k) = \binom{2}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(1-\frac{1}{2}\right)^{2-k} = \binom{2}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\binom{2}{k}$$\n具体计算得：\n- $P(Y=0) = \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}$\n- $P(Y=1) = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$\n- $P(Y=2) = \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}$\n\n**期望$E[Y]$**：\n对于二项分布，期望公式为$E[Y]=np$，代入$n=2,p=\frac{1}{2}$得：\n$$E[Y] = 2 \times \frac{1}{2} = 1$$\n也可通过定义验证：$E[Y] = 0\times\frac{1}{4} + 1\times\frac{1}{2} + 2\times\frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$。\n\n**方差$\text{Var}(Y)$**：\n二项分布方差公式为$\text{Var}(Y)=np(1-p)$，代入得：\n$$\text{Var}(Y) = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$\n\n**高阶矩计算**：\n- $E[Y^2]$：利用$E[Y^2] = \text{Var}(Y) + (E[Y])^2 = \frac{1}{2} + 1^2 = \frac{3}{2}$。\n- $E[Y^3]$：直接由定义计算：\n$$E[Y^3] = 0^3\times\frac{1}{4} + 1^3\times\frac{1}{2} + 2^3\times\frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{8}{4} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$\n\n至此，$Y$的分布及所需数字特征已全部明确，为后续步骤（如计算协方差、相关系数等）奠定基础。

我们需要计算协方差 $\operatorname{Cov}(XY, X+Y)$。根据协方差的定义： $$ \operatorname{Cov}(U, V) = E[UV] - E[U]E[V] $$ 这里 $U = XY$，$V = X+Y$。因此： $$ \operatorname{Cov}(XY, X+Y) = E[XY(X+Y)] - E[XY] \cdot E[X+Y] $$ 首先计算 $E[XY]$。由题目条件，$X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $E[X]=0$，$E[Y]=1$，因此： $$ E[XY] = E[X]E[Y] = 0 \times 1 = 0 $$ 接着计算 $E[X+Y]$： $$ E[X+Y] = E[X] + E[Y] = 0 + 1 = 1 $$ 然后计算 $E[XY(X+Y)]$。展开括号： $$ XY(X+Y) = X^2Y + XY^2 $$ 由期望的线性性： $$ E[XY(X+Y)] = E[X^2Y] + E[XY^2] $$ 利用独立性，$X$ 与 $Y$ 独立，因此 $X^2$ 与 $Y$ 独立，$X$ 与 $Y^2$ 独立，于是： $$ E[X^2Y] = E[X^2]E[Y], \quad E[XY^2] = E[X]E[Y^2] $$ 已知 $E[X]=0$，$E[Y]=1$，且由题目条件 $E[X^2]=1$，$E[Y^2]=2$，代入得： $$ E[X^2Y] = 1 \times 1 = 1, \quad E[XY^2] = 0 \times 2 = 0 $$ 所以： $$ E[XY(X+Y)] = 1 + 0 = 1 $$ 最后代入协方差公式： $$ \operatorname{Cov}(XY, X+Y) = 1 - 0 \times 1 = 1 $$ 因此，协方差为 $1$。

由于随机变量$X$与$Y$相互独立，且已知$E[X]=0$，$E[X^2]=1$，$E[Y]=0$，$E[Y^2]=\frac{3}{2}$。根据方差的性质，对于独立随机变量，方差$\operatorname{Var}(XY)$可以利用矩来表示： $$\operatorname{Var}(XY)=E[(XY)^2]-[E(XY)]^2=E[X^2Y^2]-(E[XY])^2.$$ 由独立性，$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]$，且$E[XY]=E[X]E[Y]$。代入已知数值： $$E[X^2Y^2]=1\times\frac{3}{2}=\frac{3}{2},$$ $$E[XY]=0\times0=0.$$ 因此， $$\operatorname{Var}(XY)=\frac{3}{2}-0^2=\frac{3}{2}.$$ 所以，$XY$的方差为$\frac{3}{2}$。

由于随机变量$X$与$Y$相互独立，根据方差的性质，和的方差等于方差之和，即 $$\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y).$$ 在前面的步骤中，我们已经求得$\operatorname{Var}(X)=1$，$\operatorname{Var}(Y)=\frac{1}{2}$。代入上式得 $$\operatorname{Var}(X+Y)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$ 因此，$X+Y$的方差为$\frac{3}{2}$。

本步骤的目标是计算随机变量 $XY$ 与 $X+Y$ 之间的相关系数 $\rho$，并根据计算结果选择正确选项。 首先，回顾相关系数的定义： $$\rho = \frac{\operatorname{Cov}(XY, X+Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(XY)} \cdot \sqrt{\operatorname{Var}(X+Y)}}$$ 在前面的步骤中，我们已经求得： - 协方差 $\operatorname{Cov}(XY, X+Y) = 1$ - 方差 $\operatorname{Var}(XY) = \frac{3}{2}$ - 方差 $\operatorname{Var}(X+Y) = \frac{3}{2}$ 将上述数值代入相关系数公式： $$\rho = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$$ 因此，相关系数 $\rho = \frac{2}{3}$。 对照题目给出的选项： A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $1$ 显然，$\frac{2}{3}$ 对应选项 C。 最终答案验证：相关系数的取值范围为 $[-1,1]$，$\frac{2}{3}$ 在此范围内，且计算过程无误，因此答案正确。