2026年考研数学三第4题

平均购入价格是指投资者在连续购入某资产的过程中，为获得全部持仓份额所支付的平均单位成本。其核心思想是：总花费金额除以最终获得的总份额。 设投资者在时间区间 $[0, T]$ 内持续购入某资产。令 $p(t)$ 表示时刻 $t$ 的资产价格（单位：元/份），$q(t)$ 表示到时刻 $t$ 为止累计购入的份额数量（单位：份），则 $q'(t)$ 表示时刻 $t$ 的瞬时购入速率（份/单位时间）。 在微小时间区间 $[t, t+dt]$ 内，购入的份额数量为 $q'(t) dt$，花费金额为 $p(t) \cdot q'(t) dt$。因此，从 $0$ 到 $T$ 的总花费金额为： $$ \text{总花费} = \int_0^T p(t) \, q'(t) \, dt. $$ 总购入份额为从初始时刻到 $T$ 时刻累计购入的份额增量： $$ \text{总份额} = q(T) - q(0). $$ 于是，平均购入价格 $\bar{p}$ 定义为： $$ \bar{p} = \frac{\text{总花费}}{\text{总份额}} = \frac{\int_0^T p(t) \, q'(t) \, dt}{q(T) - q(0)}. $$ 这个公式是连续购入情形下平均成本的标准表达式。它不同于简单的时间平均价格 $\frac{1}{T}\int_0^T p(t) dt$，因为后者没有考虑不同时刻购入份额的权重。平均购入价格实际上是以购入速率为权重的价格加权平均，即： $$ \bar{p} = \frac{\int_0^T p(t) \, q'(t) \, dt}{\int_0^T q'(t) \, dt}. $$ 理解这一概念是后续计算具体问题的基础。

根据题目信息，我们需要计算在时间段 $[0,T]$ 内购买某资产的平均购入价格。已知资产价格函数为 $p(t)$，购买速率函数为 $q'(t)$（即单位时间内的购买数量），初始持有数量 $q(0)$，期末持有数量 $q(T)$。 平均购入价格的定义是：总花费除以总购入数量。总花费为 $\int_0^T p(t) q'(t) \, dt$，总购入数量为 $q(T) - q(0)$。因此，平均购入价格公式为： $$ \text{平均价格} = \frac{\int_0^T p(t) q'(t) \, dt}{q(T) - q(0)}. $$ 现在将题目给出的四个选项与上述公式进行匹配： - 选项A：$\frac{\int_0^T p(t) q(t) \, dt}{q(T) - q(0)}$，分子中被积函数为 $p(t) q(t)$，与正确公式不符。 - 选项B：$\frac{\int_0^T p(t) q'(t) \, dt}{T}$，分母为时间长度 $T$，而非购入数量，错误。 - 选项C：$\frac{\int_0^T p(t) q(t) \, dt}{T}$，分子分母均不正确。 - 选项D：$\frac{\int_0^T p(t) q'(t) \, dt}{q(T) - q(0)}$，与正确公式完全一致。 因此，正确答案为选项D。 验证：当 $q'(t)$ 为常数（即匀速购买）时，设 $q'(t)=k$，则 $q(T)-q(0)=kT$，总花费 $\int_0^T p(t) k \, dt = k \int_0^T p(t) \, dt$，平均价格为 $\frac{k \int_0^T p(t) \, dt}{kT} = \frac{1}{T} \int_0^T p(t) \, dt$，即价格的时间平均值，符合直观理解。