2026年考研数学三第16题

已知随机变量 $X$ 与 $Y-X$ 相互独立。根据概率论的基本性质，若两个随机变量相互独立，则它们的协方差为零。因此，由 $X$ 与 $Y-X$ 相互独立，可得： $$ \operatorname{Cov}(X, Y-X) = 0. $$ 接下来，利用协方差的线性性质展开上式。协方差运算满足双线性性，即对于任意随机变量 $U,V,W$ 和常数 $a,b$，有： $$ \operatorname{Cov}(U, aV + bW) = a\operatorname{Cov}(U,V) + b\operatorname{Cov}(U,W). $$ 令 $U = X$, $V = Y$, $W = X$, $a = 1$, $b = -1$，则： $$ \operatorname{Cov}(X, Y-X) = \operatorname{Cov}(X, Y) - \operatorname{Cov}(X, X). $$ 而 $\operatorname{Cov}(X, X) = \operatorname{Var}(X)$，因此： $$ \operatorname{Cov}(X, Y-X) = \operatorname{Cov}(X, Y) - \operatorname{Var}(X). $$ 由独立性条件，该协方差等于零，故得到等式： $$ \operatorname{Cov}(X, Y) - \operatorname{Var}(X) = 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{Var}(X). $$ 此等式将 $X$ 与 $Y$ 的协方差与 $X$ 的方差联系起来，是后续步骤中求解相关系数的重要基础。注意，这里并未假设 $X$ 与 $Y$ 本身独立，仅利用了 $X$ 与 $Y-X$ 的独立性条件。

本步骤的目标是将协方差 $\operatorname{Cov}(X, Y-X)$ 展开为更简单的形式。根据协方差的线性性质，对于任意随机变量 $X, Y, Z$ 和常数 $a, b$，有 $\operatorname{Cov}(X, aY + bZ) = a\operatorname{Cov}(X,Y) + b\operatorname{Cov}(X,Z)$。这里令 $a=1$, $b=-1$, $Y$ 和 $Z$ 分别取 $Y$ 和 $X$，则： $$ \operatorname{Cov}(X, Y-X) = \operatorname{Cov}(X, Y) + \operatorname{Cov}(X, -X) = \operatorname{Cov}(X,Y) - \operatorname{Cov}(X,X). $$ 而协方差 $\operatorname{Cov}(X,X)$ 正是随机变量 $X$ 的方差 $D(X)$（或记作 $\operatorname{Var}(X)$）。因此： $$ \operatorname{Cov}(X, Y-X) = \operatorname{Cov}(X,Y) - D(X). $$ 这样，我们就将原协方差表达式分解为两个更基本的量：$X$ 与 $Y$ 的协方差以及 $X$ 的方差。后续步骤将利用已知条件（如 $D(X)$ 和 $\operatorname{Cov}(X,Y)$ 的值）代入计算。

已知协方差与方差的关系为 $\operatorname{Cov}(X,Y) = \operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}X \cdot \operatorname{E}Y$。题目条件给出 $\operatorname{Cov}(X,Y) = \operatorname{D}X$，因此代入可得： $$ \operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}X \cdot \operatorname{E}Y = \operatorname{D}X. $$ 将方差 $\operatorname{D}X$ 也表示为期望形式：$\operatorname{D}X = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}X)^2$。于是等式变为： $$ \operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}X \cdot \operatorname{E}Y = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}X)^2. $$ 整理所有项到等式一侧： $$ \operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}X \cdot \operatorname{E}Y - \operatorname{E}(X^2) + (\operatorname{E}X)^2 = 0. $$ 注意到 $\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}X)^2 = \operatorname{D}X$，因此上式即为 $\operatorname{E}(XY) - \operatorname{E}X \cdot \operatorname{E}Y - \operatorname{D}X = 0$，与步骤概要一致。此步骤将原条件中的协方差和方差全部转化为期望的表达式，为后续利用期望的线性性质或已知数字特征进行化简奠定了基础。

根据题目条件，随机变量$X$服从参数为$\lambda_X=1$的泊松分布，记为$X\sim P(1)$；随机变量$Y$服从参数为$\lambda_Y=3$的泊松分布，记为$Y\sim P(3)$。 对于泊松分布$P(\lambda)$，其数学期望和方差均等于参数$\lambda$，即： $$E(X)=\lambda,\quad D(X)=\lambda$$ 因此，直接代入参数可得： - 对于$X$：$E(X)=1$，$D(X)=1$； - 对于$Y$：$E(Y)=3$，$D(Y)=3$。 注意：这里$D(X)$表示方差，与$Var(X)$含义相同。由于泊松分布的期望和方差相等，计算非常简便。这些结果将用于后续步骤中计算协方差或相关系数等统计量。

本步骤的目标是求解随机变量乘积$XY$的数学期望$E(XY)$。根据上一步得到的方程$E(XY) - 1 \times 3 - 1 = 0$，我们直接进行代数运算。 首先，将方程中的乘法项计算出来：$1 \times 3 = 3$，因此方程化为： $$E(XY) - 3 - 1 = 0$$ 合并常数项： $$E(XY) - 4 = 0$$ 移项，将常数项移到等号右边： $$E(XY) = 4$$ 至此，我们得到了$E(XY)$的数值为4。 **验证**：将$E(XY)=4$代回原方程$E(XY) - 1 \times 3 - 1 = 0$，左边为$4 - 3 - 1 = 0$，等于右边，结果正确。 因此，$E(XY) = 4$。