2026年考研数学三第6题

选择题 · 5分

📝 题目

设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶非零矩阵， $\mathbf{A}^{*}$ 为 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵，若 $\mathbf{A}^{*}=-2 \mathbf{A}$ ，则 $\mathbf{A}^{2}=$（）。

$\left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -4\end{array} \right)$

$\left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array} \right)$

$\left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array} \right)$

$\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array} \right)$

💡 答案解析

好的，我们先把题目重述一下，接着分步骤推理，最后给出确切的选项。

题目给出： - 矩阵 $\mathbf{A}$ 是 3 阶非零矩阵 - 伴随矩阵 $\mathbf{A}^{*} = -2 \mathbf{A}$ 要确定 $\mathbf{A}^{2}$ 的具体形式，并选出正确选项。

---

**第一步：利用伴随矩阵与逆矩阵的关系** 对于 n 阶方阵，恒有

\[ \mathbf{A} \mathbf{A}^{*} = |\mathbf{A}| \mathbf{E}_n \]

这里 $ n = 3 $，于是

\[ \mathbf{A} \mathbf{A}^{*} = |\mathbf{A}| \mathbf{E}_3 \]

题中给出 $\mathbf{A}^{*} = -2 \mathbf{A}$，代入得：

\[ \mathbf{A} (-2 \mathbf{A}) = |\mathbf{A}| \mathbf{E}_3 \] \[ -2 \mathbf{A}^2 = |\mathbf{A}| \mathbf{E}_3 \]

因此：

\[ \mathbf{A}^2 = -\frac{|\mathbf{A}|}{2} \mathbf{E}_3 \]

由此可见，$\mathbf{A}^2$ 是对角线上元素相等的数量矩阵。我们只需求出 $|\mathbf{A}|$ 的值。

---

**第二步：求行列式**

从 $\mathbf{A}^{*} = -2 \mathbf{A}$ 两边同时取行列式。注意公式：对于 3 阶矩阵，有 \[ |\mathbf{A}^{*}| = |\mathbf{A}|^{3-1} = |\mathbf{A}|^2 \] 而右边 $-2\mathbf{A}$ 的行列式为 $(-2)^3 |\mathbf{A}| = -8 |\mathbf{A}|$。于是得到：

\[ |\mathbf{A}|^2 = -8 |\mathbf{A}| \] 即 \[ |\mathbf{A}|^2 + 8 |\mathbf{A}| = 0 \] \[ |\mathbf{A}|(|\mathbf{A}| + 8) = 0 \]

由于 $\mathbf{A}$ 非零且 $\mathbf{A}^{*} = -2\mathbf{A}$ 非零（不然伴随为零矩阵，只有零矩阵或秩小于2才可能，但这里显然不是零矩阵情形），因此 $|\mathbf{A}| \neq 0$，所以只能 \[ |\mathbf{A}| = -8 \]

---

**第三步：求 $\mathbf{A}^2$**

将 $|\mathbf{A}| = -8$ 代入第一步得到的式子：

\[ \mathbf{A}^2 = -\frac{(-8)}{2} \mathbf{E}_3 = \frac{8}{2} \mathbf{E}_3 = 4 \mathbf{E}_3 \]

所以 \[ \mathbf{A}^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]

---

**第四步：匹配选项**

这个结果对应选项 **D**。

---

**最终答案：**

\[ \boxed{D} \]

📋 详细解题步骤

步骤 1/4

目标：建立A^2与|A|的关系

已知矩阵 $A$ 满足 $A^* = -2A$，其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵。根据伴随矩阵的基本性质，对于任意 $n$ 阶方阵 $A$，有 $AA^* = A^*A = |A|E$，其中 $|A|$ 是 $A$ 的行列式，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。将已知条件 $A^* = -2A$ 代入 $AA^* = |A|E$，得到： $$A(-2A) = |A|E$$ 即 $$-2A^2 = |A|E$$ 两边同时除以 $-2$（注意 $A$ 可逆性尚未确定，但此处为代数运算，假设 $A$ 非零矩阵），可得： $$A^2 = -\frac{|A|}{2}E$$ 这表明 $A^2$ 是一个数量矩阵，即 $A^2$ 等于某个常数乘以单位矩阵。该关系将 $A^2$ 与行列式 $|A|$ 直接联系起来，为后续步骤中求解 $|A|$ 以及进一步分析 $A$ 的特征值、可逆性等性质提供了基础。

公式：$$A^2 = -\frac{|A|}{2}E$$

提示：牢记 $AA^*=|A|E$ 是核心公式，代入后直接代数化简即可。

步骤 2/4

目标：对条件取行列式求|A|

已知条件为 $A^* = -2A$，其中 $A$ 是3阶方阵。对等式两边同时取行列式。左边：$|A^*|$。根据伴随矩阵的行列式性质，对于 $n$ 阶方阵 $A$，有 $|A^*| = |A|^{n-1}$。本题中 $n=3$，故 $|A^*| = |A|^{2}$。右边：$|-2A|$。根据行列式的数乘性质，$|kA| = k^n |A|$，其中 $n$ 为矩阵阶数。这里 $k = -2$，$n=3$，所以 $|-2A| = (-2)^3 |A| = -8|A|$。因此得到方程： $$|A|^2 = -8|A|$$ 移项得： $$|A|^2 + 8|A| = 0$$ 因式分解： $$|A|(|A| + 8) = 0$$ 由此解得 $|A| = 0$ 或 $|A| = -8$。注意：由于 $A^* = -2A$，若 $|A|=0$，则 $A^* = O$（零矩阵），此时 $A$ 为奇异矩阵，但 $A^* = -2A$ 仍可能成立（例如 $A=O$）。然而，在后续步骤中需要进一步判断 $|A|$ 的具体取值，此处先保留两个可能的解。

公式：|A^*| = |A|^{n-1}, \quad |kA| = k^n|A|

提示：对矩阵等式取行列式时，注意阶数n，并正确应用行列式性质。

步骤 4/4

目标：计算A^2并选择答案

由前一步已知 $|A| = -8$，且已推导出关系式 $A^2 = -\frac{|A|}{2}E$。将 $|A| = -8$ 代入该式，得： $$ A^2 = -\frac{(-8)}{2}E = -(-4)E = 4E. $$ 因此 $A^2 = 4E$，即矩阵 $A$ 的平方等于4倍的单位矩阵。对照题目选项，选项D为 $4E$，故正确答案为D。验证：若 $A^2 = 4E$，则 $A$ 满足特征多项式 $\lambda^2 = 4$，特征值为 $\pm 2$，而 $|A| = (-2)\times 2 = -4$（若为二阶矩阵）或更一般地，当 $A$ 为 $n$ 阶矩阵时，$|A^2| = |4E| = 4^n$，故 $|A| = \pm 2^n$。但本题中 $|A| = -8$，若 $n=3$，则 $2^3=8$，$|A|=-8$ 符合 $A^2=4E$ 的推论，结果一致。

公式：A^2 = -\frac{|A|}{2}E \quad \Rightarrow \quad A^2 = 4E

提示：代入数值时注意负号，$|A|=-8$ 代入 $A^2 = -\frac{|A|}{2}E$ 得 $A^2 = -\frac{-8}{2}E = 4E$。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。

← 第5题返回列表第7题 →