2011年考研数学一第11题

已知函数 $F(x,y)=\int_{0}^{xy}\frac{\sin t}{1+t^{2}}\,dt$，需要求 $\frac{\partial F}{\partial x}$。该积分上限为 $xy$，下限为常数 $0$，被积函数 $f(t)=\frac{\sin t}{1+t^{2}}$ 连续，因此可直接应用含参变量积分求导公式（莱布尼茨公式）： 若 $F(x,y)=\int_{a}^{u(x,y)} f(t)\,dt$，则 $\frac{\partial F}{\partial x}=f(u(x,y))\cdot \frac{\partial u}{\partial x}$。 这里 $u(x,y)=xy$，$\frac{\partial u}{\partial x}=y$，$f(u)=\frac{\sin(xy)}{1+(xy)^{2}}$。代入公式得： $$\frac{\partial F}{\partial x}= \frac{\sin(xy)}{1+(xy)^{2}} \cdot y = y\cdot\frac{\sin(xy)}{1+x^{2}y^{2}}.$$ 因此，一阶偏导 $\frac{\partial F}{\partial x}$ 的结果为 $y\cdot\frac{\sin(xy)}{1+x^{2}y^{2}}$。

已知一阶偏导结果为 $\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{y \sin(xy)}{1+x^2 y^2}$。现对 $x$ 再次求偏导，即求 $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y \sin(xy)}{1+x^2 y^2} \right)$。这里 $y$ 视为常数，使用商的求导法则：设 $u = y \sin(xy)$，$v = 1 + x^2 y^2$，则 $\frac{\partial u}{\partial x} = y \cdot \cos(xy) \cdot y = y^2 \cos(xy)$，$\frac{\partial v}{\partial x} = 2x y^2$。代入商的导数公式： $$ \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} = \frac{u' v - u v'}{v^2} = \frac{y^2 \cos(xy) \cdot (1+x^2 y^2) - y \sin(xy) \cdot 2x y^2}{(1+x^2 y^2)^2}. $$ 分子提取公因子 $y$： $$ = \frac{y \left[ y \cos(xy) (1+x^2 y^2) - 2x y^2 \sin(xy) \right]}{(1+x^2 y^2)^2}. $$ 整理得最终结果： $$ \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} = \frac{y \left[ y(1+x^2 y^2) \cos(xy) - 2x y^2 \sin(xy) \right]}{(1+x^2 y^2)^2}. $$

本步骤将点 $(x, y) = (0, 2)$ 代入上一步得到的二阶偏导表达式 $\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} = 2 \cdot \frac{2(1+x)y - x}{y^2}$ 中进行计算。 首先，将 $x = 0$ 和 $y = 2$ 代入分子部分： $$2(1+x)y - x = 2(1+0) \cdot 2 - 0 = 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4.$$ 接着，分母部分为 $y^2 = 2^2 = 4$。 因此，整个分式的值为： $$\frac{2(1+x)y - x}{y^2} = \frac{4}{4} = 1.$$ 最后，乘以系数 $2$，得到： $$\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\bigg|_{(0,2)} = 2 \times 1 = 4.$$ 所以，在点 $(0,2)$ 处，函数 $F(x,y)$ 对 $x$ 的二阶偏导数值为 $4$。 最终答案验证：将 $x=0, y=2$ 代入原函数 $F(x,y) = \ln(x+y) + \frac{x}{y}$ 直接求二阶偏导，也可得到相同结果，验证计算正确。