2011年考研数学一第10题

首先，观察所给微分方程 $y' + y = e^{-x}\cos x$。该方程中未知函数 $y$ 及其导数 $y'$ 均为一次，且方程右侧为非零函数，因此它是一阶线性非齐次微分方程。将其与标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$ 对比，可得 $P(x) = 1$，$Q(x) = e^{-x}\cos x$。 对于一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为： $$ y = e^{-\int P(x)\,dx}\left[\int Q(x) e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C\right] $$ 其中 $C$ 为任意常数。 接下来计算积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$。由于 $P(x)=1$，有 $\int P(x)\,dx = \int 1\,dx = x$，因此 $\mu(x) = e^{x}$。 将 $\mu(x)$ 代入通解公式，得到： $$ y = e^{-x}\left[\int e^{-x}\cos x \cdot e^{x}\,dx + C\right] = e^{-x}\left[\int \cos x\,dx + C\right] $$ 注意这里 $Q(x)e^{\int P\,dx} = e^{-x}\cos x \cdot e^{x} = \cos x$。 至此，我们已经完成了方程类型的识别，并写出了通解公式。后续步骤将计算积分 $\int \cos x\,dx$ 并得到最终解。

在第一步中，我们已经将原微分方程化为标准形式： $$ \frac{dy}{dx} + y = e^{-x} $$ 其中 $P(x) = 1$，$Q(x) = e^{-x}$。 现在需要计算积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}$。 首先计算不定积分： $$ \int P(x) \, dx = \int 1 \, dx = x + C $$ 由于积分因子只需要一个特解，通常取积分常数为 $0$，即： $$ \int P(x) \, dx = x $$ 因此积分因子为： $$ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{x} $$ 这个积分因子的作用是：将原方程两边同时乘以 $\mu(x)$ 后，左边恰好可以写成 $\frac{d}{dx}(\mu(x) y)$ 的形式，从而简化求解过程。 验证： $$ \mu(x) \cdot \left( \frac{dy}{dx} + y \right) = e^{x} \frac{dy}{dx} + e^{x} y = \frac{d}{dx}(e^{x} y) $$ 因此，积分因子 $e^{x}$ 计算正确。

本步骤的目标是计算积分 $\int Q e^{\int P \, dx} \, dx$。根据题目已知条件，$P = -1$，$Q = e^{-x} \cos x$。首先计算 $\int P \, dx = \int (-1) \, dx = -x$（省略积分常数，因为后续会通过常数调整）。于是 $e^{\int P \, dx} = e^{-x}$。因此被积函数为 $Q e^{\int P \, dx} = e^{-x} \cos x \cdot e^{-x}$？注意：此处需要仔细核对。实际上，根据一阶线性微分方程的求解公式，通解为 $y = e^{-\int P \, dx} \left( \int Q e^{\int P \, dx} \, dx + C \right)$。在本题中，$P = -1$，所以 $\int P \, dx = -x$，$e^{\int P \, dx} = e^{-x}$。而 $Q = e^{-x} \cos x$，因此 $Q e^{\int P \, dx} = e^{-x} \cos x \cdot e^{-x} = e^{-2x} \cos x$？但步骤概要中给出的结果是 $\int e^{-x} \cos x \cdot e^{x} \, dx = \int \cos x \, dx = \sin x$，这表明实际使用的 $e^{\int P \, dx}$ 应为 $e^{x}$，即 $\int P \, dx = x$，这意味着 $P = 1$。因此需要根据题目实际条件调整：题目中微分方程为 $y' + y = e^{-x} \cos x$，即 $P = 1$，$Q = e^{-x} \cos x$。那么 $\int P \, dx = \int 1 \, dx = x$，$e^{\int P \, dx} = e^{x}$。于是 $Q e^{\int P \, dx} = e^{-x} \cos x \cdot e^{x} = \cos x$。所以积分 $\int Q e^{\int P \, dx} \, dx = \int \cos x \, dx = \sin x$。注意：这里省略了积分常数，因为最终通解中会有一个任意常数 $C$。因此本步骤的计算结果为 $\sin x$。

由前一步已求得非齐次线性微分方程的一个特解 $y^* = e^{-x} \sin x$，且对应齐次方程的通解为 $Y = Ce^{-x}$（$C$ 为任意常数）。根据线性微分方程解的结构定理，非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上一个特解，即 $y = Y + y^*$。代入得： $$y = Ce^{-x} + e^{-x} \sin x$$ 将公因子 $e^{-x}$ 提出，可写成 $y = e^{-x}(\sin x + C)$。两种形式等价，通常写作 $y = Ce^{-x} + e^{-x} \sin x$，其中 $C$ 为任意常数。此即为原一阶线性微分方程的通解表达式。

我们已经得到微分方程的通解为 $y = C \cdot e^{x^2} + e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, dt$，其中 $C$ 是任意常数。现在利用初始条件 $y(0)=0$ 来确定常数 $C$。将 $x=0$ 代入通解表达式：左边 $y(0)=0$，右边第一项为 $C \cdot e^{0^2} = C \cdot 1 = C$，第二项为 $e^{0^2} \int_0^0 e^{-t^2} \, dt = 1 \cdot 0 = 0$。因此得到方程 $0 = C + 0$，解得 $C=0$。于是满足初始条件的特解为 $y = e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2} \, dt$。

已知微分方程的通解为 $y = C_1 e^{-x} \cos x + C_2 e^{-x} \sin x$，且已由初值条件 $y(0)=1$ 和 $y'(0)=0$ 确定出常数 $C_1=1$，$C_2=1$。将 $C_1=1$，$C_2=1$ 代入通解表达式，得到特解为： $$y = e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x = e^{-x} (\cos x + \sin x).$$ 为了验证该特解满足初值条件，首先代入 $x=0$： $$y(0) = e^{0} (\cos 0 + \sin 0) = 1 \cdot (1+0) = 1,$$ 满足 $y(0)=1$。 再求导数： $$y' = -e^{-x}(\cos x + \sin x) + e^{-x}(-\sin x + \cos x) = e^{-x}(-\cos x - \sin x - \sin x + \cos x) = e^{-x}(-2\sin x).$$ 代入 $x=0$： $$y'(0) = e^{0} \cdot (-2\sin 0) = 1 \cdot 0 = 0,$$ 满足 $y'(0)=0$。 因此，所求满足初值条件的特解为 $y = e^{-x}(\cos x + \sin x)$。该解也可写作 $y = \sqrt{2} e^{-x} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$，但通常保留为 $y = e^{-x}(\cos x + \sin x)$ 的形式。至此，题目求解完成。