2011年考研数学一第9题

首先，题目中给出的曲线方程为 $y = \int_{0}^{x} \tan t \, dt$，这是一个由变上限积分定义的函数。为了求该曲线在任意点处的切线斜率，我们需要计算导数 $\frac{dy}{dx}$。根据微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）中关于变上限积分求导的法则：若 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$，则 $F'(x) = f(x)$，其中 $f(t)$ 在积分区间上连续。这里，被积函数 $f(t) = \tan t$ 在 $t \in [0, x]$ 上连续（注意 $x$ 需避开 $\frac{\pi}{2} + k\pi$ 等使 $\tan t$ 无定义的点，但本题默认在定义域内讨论）。因此，直接应用该法则可得： $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \tan t \, dt = \tan x.$$ 这一结果简洁地给出了曲线在任意点 $x$ 处的切线斜率。后续步骤将利用此导数进一步求切线方程或曲率等几何量。

在计算曲线弧长时，首先需要写出弧微分表达式。已知曲线方程为 $y = \ln(\cos x)$，其中 $x$ 的取值范围为 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$。弧微分的一般公式为 $ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx$。 第一步，求导数 $\frac{dy}{dx}$。对 $y = \ln(\cos x)$ 求导，利用复合函数求导法则：$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$。 第二步，计算 $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$：$\left(-\tan x\right)^2 = \tan^2 x$。 第三步，代入弧微分公式： $$ds = \sqrt{1 + \tan^2 x} \, dx$$ 第四步，利用三角恒等式 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$，化简得： $$ds = \sqrt{\sec^2 x} \, dx = |\sec x| \, dx$$ 由于在区间 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$ 上，$\cos x > 0$，因此 $\sec x = \frac{1}{\cos x} > 0$，绝对值符号可以去掉，得到： $$ds = \sec x \, dx$$ 至此，弧微分表达式已经写出，为后续计算弧长积分做好了准备。

根据弧长公式，曲线 $y = \ln(\sec x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的弧长 $s$ 为： $$s = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1 + (y')^2} \, dx.$$ 首先计算导数 $y'$。由 $y = \ln(\sec x)$，利用复合函数求导法则： $$y' = \frac{1}{\sec x} \cdot \sec x \tan x = \tan x.$$ 于是 $(y')^2 = \tan^2 x$，代入弧长公式得： $$s = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1 + \tan^2 x} \, dx.$$ 利用三角恒等式 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$，且当 $x \in [0, \frac{\pi}{4}]$ 时 $\sec x > 0$，故 $\sqrt{\sec^2 x} = \sec x$。因此弧长定积分简化为： $$s = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec x \, dx.$$ 这就是本步骤需要建立的弧长定积分表达式。

本步骤需要计算定积分 $s = \int_0^{\pi/4} \sec x \, dx$。首先回忆不定积分公式：$\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$。因此，定积分的结果为： $$s = \left[ \ln|\sec x + \tan x| \right]_0^{\pi/4} = \ln(\sec(\pi/4) + \tan(\pi/4)) - \ln(\sec 0 + \tan 0).$$ 计算各函数值： - $\sec(\pi/4) = \frac{1}{\cos(\pi/4)} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}$， - $\tan(\pi/4) = 1$， - $\sec 0 = \frac{1}{\cos 0} = 1$， - $\tan 0 = 0$。 代入得： $$s = \ln(\sqrt{2} + 1) - \ln(1 + 0) = \ln(\sqrt{2} + 1) - \ln 1 = \ln(\sqrt{2} + 1) - 0 = \ln(1 + \sqrt{2}).$$ 因此，所求定积分的值为 $\ln(1+\sqrt{2})$。 **最终答案验证**：可以数值验证，$\ln(1+\sqrt{2}) \approx \ln(2.4142) \approx 0.8814$，而数值积分 $\int_0^{\pi/4} \sec x \, dx$ 的近似值也为 $0.8814$，结果正确。