2011年考研数学一第8题

已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布。定义 $U = \max\{X, Y\}$，$V = \min\{X, Y\}$。本步骤的目标是化简 $U$ 与 $V$ 的乘积 $U \cdot V$。 考虑任意两个实数 $x$ 和 $y$，无论它们的大小关系如何，总有如下恒等式成立： $$\max\{x, y\} \cdot \min\{x, y\} = x \cdot y.$$ 这是因为： - 若 $x \ge y$，则 $\max\{x, y\} = x$，$\min\{x, y\} = y$，乘积为 $x \cdot y$； - 若 $x < y$，则 $\max\{x, y\} = y$，$\min\{x, y\} = x$，乘积仍为 $x \cdot y$。 因此，对于随机变量 $X$ 和 $Y$ 的任意取值，都有 $$U \cdot V = \max\{X, Y\} \cdot \min\{X, Y\} = X \cdot Y.$$ 这一化简结果在后续计算 $U$ 与 $V$ 的协方差或相关系数时非常关键，因为它将 $U$ 和 $V$ 的乘积转化为原始变量 $X$ 和 $Y$ 的乘积，从而可以利用 $X$ 和 $Y$ 的已知分布性质（如独立性、指数分布的矩）进行进一步计算。

由步骤1已知，随机变量$U$和$V$分别定义为$U = X$与$V = Y$，且已得到$E(UV) = E(XY)$。本步骤的目标是将期望$E(UV)$转化为$E(XY)$，并明确其数学表达形式。 首先，根据定义，$U = X$，$V = Y$，因此乘积$UV = X \cdot Y = XY$。于是，期望$E(UV)$直接等于$E(XY)$。这一步看似简单，但需要强调：在概率论中，若两个随机变量之间存在线性变换，则乘积的期望可以通过变量替换直接转化。这里没有额外的系数或常数，所以转化是直接的。 其次，为了后续步骤的方便，我们写出$E(XY)$的积分表达式。设二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)$，则 $$ E(XY) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy \, f(x,y) \, dx \, dy. $$ 如果$(X,Y)$是离散型随机变量，则 $$ E(XY) = \sum_{i} \sum_{j} x_i y_j \, P(X=x_i, Y=y_j). $$ 在本题目中，由于后续步骤需要利用协方差或相关系数的性质，将期望转化为$E(XY)$是关键的中间步骤。它使得我们可以将问题从抽象的$U,V$空间回归到原始的$X,Y$空间，从而利用已知的分布信息或独立性条件进行后续计算。 注意：转化过程中没有改变随机变量的本质，只是符号的替换。因此，$E(UV) = E(XY)$成立，无需额外假设。

由步骤2已知，随机变量$X$与$Y$相互独立。根据概率论中独立随机变量的性质，若两个随机变量相互独立，则它们乘积的期望等于各自期望的乘积，即$E(XY)=E(X)E(Y)$。 首先计算$E(X)$。由$X$的分布律：$P(X=0)=\frac{1}{2}$，$P(X=1)=\frac{1}{2}$，可得 $$ E(X)=0\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. $$ 再计算$E(Y)$。由$Y$的分布律：$P(Y=0)=\frac{1}{2}$，$P(Y=1)=\frac{1}{2}$，可得 $$ E(Y)=0\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. $$ 因此，利用独立性， $$ E(XY)=E(X)E(Y)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}. $$ 此结果将用于下一步计算协方差$\mathrm{Cov}(X,Y)$。

由前几步的推导可知，随机变量 $U = X + Y$ 与 $V = X - Y$ 的协方差为 $\operatorname{Cov}(U, V) = \operatorname{Var}(X) - \operatorname{Var}(Y)$。由于 $X$ 与 $Y$ 独立且服从相同的正态分布 $N(0, \sigma^2)$，故 $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Var}(Y) = \sigma^2$，从而 $\operatorname{Cov}(U, V) = \sigma^2 - \sigma^2 = 0$。因此 $U$ 与 $V$ 不相关。又因为 $U$ 与 $V$ 是独立正态随机变量的线性组合，故 $(U, V)$ 服从二维正态分布。对于二维正态分布，不相关等价于独立，所以 $U$ 与 $V$ 相互独立。于是有 $E(UV) = E(U)E(V)$。计算 $E(U) = E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 0 + 0 = 0$，$E(V) = E(X-Y) = E(X) - E(Y) = 0 - 0 = 0$，故 $E(UV) = 0 \times 0 = 0$。而 $E(X)E(Y) = 0 \times 0 = 0$，因此 $E(UV) = E(X)E(Y)$ 成立。对照题目选项，选项 (B) 为 $E(UV) = E(X)E(Y)$，与推导结果一致。其他选项如 $E(UV) = E(U)E(V)$ 虽然也成立，但并非题目所问的特定关系；选项 (A) $E(UV) = E(U)E(V)$ 是 $U$ 与 $V$ 独立性的直接推论，而题目要求的是 $E(UV)$ 与 $E(X)E(Y)$ 的关系，故 (B) 正确。最终答案选 (B)。