2011年考研数学一第7题
📝 题目
设 $F_{1}(x)$ 与 $F_{2}(x)$ 为两个分布函数，其相应的概率密度 $f_{1}(x)$ 与 $f_{2}(x)$ 是连续函数，则必为概率密度的是（ ）
A
$f_{1}(x) f_{2}(x)$ 。
B
$2 f_{2}(x) F_{1}(x)$ ．
C
$f_{1}(x) F_{2}(x)$ ．
D
$f_{1}(x) F_{2}(x)+f_{2}(x) F_{1}(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**: （D）．
---
**解析**:
方法一 由 $F^{\prime}{ }_{1}(x)=f_{1}(x), F^{\prime}{ }_{2}(x)=f_{2}(x)$ 得
$$ f_{1}(x) F_{2}(x)+f_{2}(x) F_{1}(x)=\left[F_{1}(x) F_{2}(x)\right]^{\prime} \text {, } $$
再由 $F_{1}(-\infty)=F_{2}(-\infty)=0, \quad F_{1}(+\infty)=F_{2}(+\infty)=1$ 得
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\left[f_{1}(x) F_{2}(x)+f_{2}(x) F_{1}(x)\right] \mathrm{d} x=\left.F_{1}(x) F_{2}(x)\right|_{-\infty} ^{+\infty}=1, $$
又 $f_{1}(x) F_{2}(x)+f_{2}(x) F_{1}(x) \geqslant 0$ ，故 $f_{1}(x) F_{2}(x)+f_{2}(x) F_{1}(x)$ 为某个随机变量的密度函数，应选（D）．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确概率密度的充要条件
在概率论中，一个函数 $f(x)$ 成为某个连续型随机变量的概率密度函数（PDF）必须同时满足两个充要条件：
**条件一（非负性）**：对于所有实数 $x$，有 $f(x) \geq 0$。这是因为概率密度函数表示概率分布的“密度”，而概率本身是非负的，因此密度函数也必须处处非负。
**条件二（归一性）**：函数在全实数轴上的积分为1，即
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1.
$$
这个条件源于概率的公理化定义：随机变量取遍所有可能值的总概率为1。
**推导说明**：
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$，则对于任意实数 $a < b$，事件 $\{a < X \leq b\}$ 的概率为
$$
P(a < X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx.
$$
由概率的非负性，对任意区间积分非负，故 $f(x) \geq 0$（几乎处处成立）。又因为 $X$ 必然落在 $(-\infty, +\infty)$ 内，所以
$$
P(-\infty < X < +\infty) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1.
$$
**验证方法**：
判断一个给定函数是否为概率密度时，应首先检查其是否满足非负性（通常通过观察函数表达式或图像），然后计算其在整个实数轴上的积分是否等于1。若两个条件均满足，则该函数是合法的概率密度函数；否则不是。
**本步骤的意义**：
在后续解题中，我们将利用这两个条件来求解未知参数（例如常数 $k$ 或 $c$），或者验证某个函数是否可以作为概率密度。
公式：$$f(x) \geq 0, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$$
提示：先检查非负性，再计算积分；分段函数要分段积分并求和。
步骤 2/5
目标：分析选项(A)和(B)和(C)的反例或验证
首先分析选项(A)：$F_1(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x \ge 1 \end{cases}$。该函数在$x=0$处从0跳跃到$\frac{1}{2}$，在$x=1$处从$\frac{1}{2}$跳跃到1，满足单调非减、右连续、$F(-\infty)=0$、$F(+\infty)=1$，因此$F_1(x)$是一个分布函数。但题目要求的是概率密度函数，而$F_1(x)$是阶梯函数，其导数几乎处处为0，无法通过求导得到一个非负且积分为1的密度函数，因此$F_1(x)$不能作为某个连续型随机变量的分布函数，故选项(A)错误。
分析选项(B)：$F_2(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x \ge 1 \end{cases}$。该函数在$[0,1)$上线性增长，在$x=1$处连续，且$F_2(-\infty)=0$，$F_2(+\infty)=1$，单调非减、右连续，因此$F_2(x)$是一个分布函数。其导数$f_2(x)=1$（$0
公式：$$F(x) \text{ 为分布函数需满足：单调非减、右连续、} \lim_{x\to -\infty}F(x)=0,\ \lim_{x\to +\infty}F(x)=1$$
提示：判断分布函数时，务必检查右连续性和连续性（连续型要求连续）
步骤 3/5
目标：对选项(D)进行求导变换
选项(D)为 $f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x)$。已知 $F_1'(x)=f_1(x)$，$F_2'(x)=f_2(x)$。根据乘积求导法则，函数 $F_1(x)F_2(x)$ 的导数为：
$$[F_1(x)F_2(x)]' = F_1'(x)F_2(x) + F_1(x)F_2'(x) = f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x).$$
因此，选项(D)恰好等于 $[F_1(x)F_2(x)]'$。这一变换将原表达式转化为一个函数的导数形式，便于后续积分或定积分计算。
公式：$$[F_1(x)F_2(x)]' = f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x)$$
提示：牢记乘积求导公式，将已知导数代入即可快速完成变换。
步骤 4/5
目标：验证选项(D)的积分值为1
我们需要验证选项(D)中的函数 $[F_1(x)F_2(x)]'$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上的积分是否为1。根据步骤概要，计算积分：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} [F_1(x)F_2(x)]' \, dx.
$$
由牛顿-莱布尼茨公式，该积分等于被积函数的原函数在无穷远处的差值：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} [F_1(x)F_2(x)]' \, dx = \lim_{x \to +\infty} F_1(x)F_2(x) - \lim_{x \to -\infty} F_1(x)F_2(x).
$$
已知 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 都是分布函数，因此具有边界性质：
$$
\lim_{x \to -\infty} F_1(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F_1(x) = 1,
$$
$$
\lim_{x \to -\infty} F_2(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F_2(x) = 1.
$$
于是，
$$
\lim_{x \to -\infty} F_1(x)F_2(x) = 0 \times 0 = 0,
$$
$$
\lim_{x \to +\infty} F_1(x)F_2(x) = 1 \times 1 = 1.
$$
因此，
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} [F_1(x)F_2(x)]' \, dx = 1 - 0 = 1.
$$
这验证了选项(D)的积分值为1，即该函数满足概率密度函数的归一化条件。
公式：$$\int_{-\infty}^{+\infty} [F_1(x)F_2(x)]' \, dx = \lim_{x \to +\infty} F_1(x)F_2(x) - \lim_{x \to -\infty} F_1(x)F_2(x) = 1 - 0 = 1$$
提示：利用分布函数边界值直接计算原函数差，避免对导数进行复杂积分。
步骤 5/5
目标：验证选项(D)的非负性
本步骤验证选项(D) $f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x)$ 是否满足概率密度的非负性条件。
已知条件：$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 都是概率密度函数，因此对于任意实数 $x$，有 $f_1(x) \geq 0$ 且 $f_2(x) \geq 0$。同时，$F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 分别是 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 对应的分布函数，根据分布函数的定义，对于任意 $x$，有 $0 \leq F_1(x) \leq 1$ 且 $0 \leq F_2(x) \leq 1$。
考虑选项(D)的表达式 $g(x) = f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x)$。由于 $f_1(x) \geq 0$，$F_2(x) \geq 0$，所以乘积 $f_1(x)F_2(x) \geq 0$；同理，$f_2(x) \geq 0$，$F_1(x) \geq 0$，所以乘积 $f_2(x)F_1(x) \geq 0$。两个非负项相加，结果必然非负，即 $g(x) \geq 0$ 对所有 $x$ 成立。
因此，选项(D)满足概率密度函数的第一个必要条件——非负性。结合前几步已验证的归一性（积分为1），可以确认选项(D)是一个合法的概率密度函数。
最终答案：选项(D)正确，$f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x)$ 是概率密度函数。
公式：g(x) = f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x) \geq 0
提示：非负性只需利用概率密度和分布函数的非负性即可直接判断。
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