已知矩阵 $A$ 是 $4 \times 4$ 矩阵，且 $r(A)=3$，即 $r(A)=n-1$（其中 $n=4$）。根据矩阵秩与伴随矩阵秩的关系：
- 若 $r(A)=n$，则 $r(A^*)=n$；
- 若 $r(A)=n-1$，则 $r(A^*)=1$；
- 若 $r(A)
目标：利用伴随矩阵性质得到A*x=0的一组解
已知矩阵 $A$ 为 $4$ 阶方阵，且 $\operatorname{rank}(A)=3$，则 $|A|=0$。伴随矩阵 $A^*$ 满足性质：$AA^* = A^*A = |A|E$。由于 $|A|=0$，故 $AA^* = O$（零矩阵）。
将 $A^*$ 按列分块，设 $A^* = (\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4)$，其中 $\beta_j$ 为 $A^*$ 的第 $j$ 列向量。则 $AA^* = O$ 等价于 $A\beta_j = 0$ 对 $j=1,2,3,4$ 均成立。因此，$A^*$ 的每一列都是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解。
另一方面，由 $A^*A = |A|E = O$，将 $A$ 按列分块为 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，则 $A^*A = O$ 给出 $A^*\alpha_i = 0$ 对 $i=1,2,3,4$ 成立。但本题需要的是 $Ax=0$ 的解，因此我们利用 $AA^*=O$ 这一关系。
由于 $\operatorname{rank}(A)=3$，$Ax=0$ 的基础解系包含 $4-3=1$ 个线性无关的解向量。而 $A^*$ 的列向量均为 $Ax=0$ 的解，且 $\operatorname{rank}(A^*)$ 满足：当 $\operatorname{rank}(A)=n-1$ 时，$\operatorname{rank}(A^*)=1$。这里 $n=4$，$\operatorname{rank}(A)=3$，故 $\operatorname{rank}(A^*)=1$。因此 $A^*$ 的四个列向量线性相关，且非零列向量构成 $Ax=0$ 的一个基础解系。
特别地，$A$ 的列向量 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 本身并不是 $Ax=0$ 的解（除非 $\alpha_i=0$），但由 $AA^*=O$ 知 $A^*$ 的列向量是解。题目中“$A$的列向量$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$均为$A^*x=0$的解”这一说法有误，应为“$A^*$的列向量均为$Ax=0$的解”。正确理解：由 $AA^*=O$ 得 $A$ 乘以 $A^*$ 的每一列为零，故 $A^*$ 的列是 $Ax=0$ 的解。
因此，我们得到 $Ax=0$ 的一组解：$\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$（即 $A^*$ 的列向量），且其中非零列向量即为所求的基础解系。
公式：$$AA^* = |A|E = O \quad \Rightarrow \quad A\beta_j = 0 \quad (j=1,2,3,4)$$
提示：注意区分 $AA^*=O$ 和 $A^*A=O$ 分别对应哪一侧的解。
目标：利用已知解推导列向量间的线性关系
已知向量 $(1,0,1,0)^T$ 是齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=0$ 的一个解。设矩阵 $A$ 的列向量为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$，则方程组 $A\boldsymbol{x}=0$ 可写为：
$$x_1\boldsymbol{\alpha}_1 + x_2\boldsymbol{\alpha}_2 + x_3\boldsymbol{\alpha}_3 + x_4\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{0}.$$
将已知解代入，得：
$$1\cdot\boldsymbol{\alpha}_1 + 0\cdot\boldsymbol{\alpha}_2 + 1\cdot\boldsymbol{\alpha}_3 + 0\cdot\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{0},$$
即
$$\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{0}.$$
因此 $\boldsymbol{\alpha}_3 = -\boldsymbol{\alpha}_1$，说明 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关（存在非零系数 $1$ 和 $1$ 使得线性组合为零）。由于 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 这三个向量中已经有两个（$\boldsymbol{\alpha}_1$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_3$）线性相关，所以向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 必然线性相关。
进一步地，由 $\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{0}$ 可得 $\boldsymbol{\alpha}_1 = -\boldsymbol{\alpha}_3$，因此 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 成比例，比例系数为 $-1$。这一关系将用于后续步骤中判断向量组的秩以及线性无关组的最大个数。
公式：$$\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{0}$$
提示：将解向量视为组合系数，直接写出列向量的线性组合为零。
目标：选出线性无关的解向量组作为基础解系
已知齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 满足：$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，而 $\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性无关。由于 $\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 均为方程的解，且它们线性无关，因此这三个向量构成一个线性无关的解向量组。
基础解系需要满足两个条件：
1. 向量组是方程的解；
2. 向量组线性无关；
3. 向量组的秩等于解空间的维数（即 $n-r(A)$）。
由已知，$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性无关，且均为解，故它们满足前两个条件。又因为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，说明 $\alpha_1$ 可由 $\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示，而 $\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性无关，所以解空间的维数至少为 3。若 $n-r(A)=3$，则 $\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 就是一组基础解系。若 $n-r(A)>3$，则还需更多解向量，但题目中只给出这四个向量，且 $\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 已线性无关，因此它们可作为基础解系。
最终答案：选 (D) $\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$。
公式：$$\text{基础解系条件：}\begin{cases} A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\text{的解}\\ \text{线性无关}\\ \text{个数}=n-r(A) \end{cases}$$
提示：判断基础解系时，先确认解向量线性无关，再检查个数是否等于 $n-r(A)$。