2011年考研数学一第5题

首先，题目描述了对矩阵$A$进行两次初等变换得到单位矩阵$I$的过程。第一步：将$A$的第2列加到第1列。这是一个列变换，对应的初等矩阵是右乘一个初等矩阵$P_1$。将第2列加到第1列的初等矩阵$P_1$是将单位矩阵$I$的第1列加上第2列，即 $$P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 因此，$A$经过第一次变换后得到矩阵$B = A P_1$。 第二步：交换$B$的第2行与第3行。这是一个行变换，对应的初等矩阵是左乘一个初等矩阵$P_2$。交换第2行与第3行的初等矩阵$P_2$是将单位矩阵$I$的第2行与第3行交换，即 $$P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 因此，$B$经过第二次变换后得到单位矩阵$I$，即$P_2 B = I$。 综合两次变换，得到矩阵运算表达式： $$P_2 (A P_1) = I \quad \text{即} \quad P_2 A P_1 = I$$ 其中$P_1$和$P_2$如上所示。这个表达式清晰地反映了初等变换与初等矩阵的对应关系：列变换右乘，行变换左乘。

已知由第1步得到的等式 $P_2 A P_1 = I$，其中 $P_1$ 和 $P_2$ 均为初等矩阵。为解出矩阵 $A$，我们在等式两边同时左乘 $P_2^{-1}$ 且右乘 $P_1^{-1}$，得到 $A = P_2^{-1} I P_1^{-1} = P_2^{-1} P_1^{-1}$。 由于 $P_2$ 是交换第1行和第2行的初等矩阵，其逆矩阵就是自身，即 $P_2^{-1} = P_2$。而 $P_1$ 是将第2列的1倍加到第1列的初等矩阵，即 $P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，其逆矩阵 $P_1^{-1}$ 为将第2列的 $-1$ 倍加到第1列的矩阵，即 $P_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。 因此 $A = P_2 \cdot P_1^{-1}$。代入具体矩阵： $$P_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad P_1^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 计算乘积： $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot1+1\cdot0 & 0\cdot(-1)+1\cdot1 \\ 1\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot(-1)+0\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 对照选项，该矩阵对应选项（D）。验证：将 $A$ 代入原式 $P_2 A P_1$ 应得单位矩阵： $$P_2 A P_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ 结果正确。