2011年考研数学一第4题

已知在区间 $(0, \frac{\pi}{2})$ 内，对于任意 $x \in (0, \frac{\pi}{4})$，有 $\sin x < \cos x < \cot x$。由于自然对数函数 $\ln t$ 在定义域 $(0, +\infty)$ 上是严格单调递增的，因此对不等式 $\sin x < \cos x < \cot x$ 两边同时取自然对数，不等号方向保持不变，得到： $$ \ln(\sin x) < \ln(\cos x) < \ln(\cot x). $$ 进一步，注意到 $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$，因此 $\ln(\cot x) = \ln\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = \ln(\cos x) - \ln(\sin x)$。于是原不等式可写为： $$ \ln(\sin x) < \ln(\cos x) < \ln(\cos x) - \ln(\sin x). $$ 这个大小关系是后续比较三个定积分 $I_1 = \int_0^{\pi/4} \ln(\sin x) \, dx$，$I_2 = \int_0^{\pi/4} \ln(\cos x) \, dx$，$I_3 = \int_0^{\pi/4} \ln(\cot x) \, dx$ 的基础。由于积分区间相同，且被积函数在区间内处处满足上述不等式，根据定积分的保序性（若 $f(x) \leq g(x)$ 在 $[a,b]$ 上恒成立，则 $\int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx$），可得： $$ I_1 < I_2 < I_3. $$ 因此，三个积分的大小顺序为 $I_1$ 最小，$I_2$ 居中，$I_3$ 最大。

在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上，我们已经比较了三个被积函数的大小关系： 首先，由于 $0 < x < \frac{\pi}{4}$，有 $\sin x < \cos x$，且 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，因此 $\tan x > \sin x$。同时，$\cos x$ 在 $(0, \frac{\pi}{4})$ 上小于 1，所以 $\frac{\sin x}{\cos x} > \sin x$，即 $\tan x > \sin x$。 其次，比较 $\tan x$ 与 $\cot x$：在 $(0, \frac{\pi}{4})$ 上，$\tan x < 1$，而 $\cot x = \frac{1}{\tan x} > 1$，因此 $\cot x > \tan x$。 综上，在区间 $(0, \frac{\pi}{4})$ 上，有 $$ \sin x < \tan x < \cot x. $$ 根据定积分的保序性（单调性）：若在区间 $[a,b]$ 上 $f(x) \leq g(x)$，则 $\int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx$。这里 $a=0, b=\frac{\pi}{4}$，且 $f(x)=\sin x$，$g(x)=\tan x$，$h(x)=\cot x$。由于 $\sin x < \tan x < \cot x$ 在 $(0,\frac{\pi}{4})$ 上严格成立（端点处相等或可忽略），因此对应的积分也保持严格不等关系： $$ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx < \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx < \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cot x \, dx. $$ 题目中记 $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx$，$J = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cot x \, dx$，$K = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx$。因此得到大小关系： $$ K < I < J. $$ 此步骤直接利用保序性得出结论，无需计算具体积分值。

根据前几步的推导，我们已经分别计算出三个积分的大小关系。具体地： - 积分 $I = \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx$，通过变量代换 $x = \tan t$ 可化为 $\int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan t) \, dt$，再利用对称性可得 $I = \frac{\pi}{8} \ln 2$。 - 积分 $J = \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} \, dx$，直接积分得 $J = \frac{1}{2} (\ln 2)^2$。 - 积分 $K = \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{\sqrt{1+x}} \, dx$，通过换元 $u = \sqrt{1+x}$ 可化为 $2\int_1^{\sqrt{2}} \ln(u^2) \, du = 4\int_1^{\sqrt{2}} \ln u \, du = 4(\sqrt{2}\ln\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2}\ln 2 - 4\sqrt{2} + 4$。 现在比较三个数值的大小。首先计算近似值： - $I = \frac{\pi}{8} \ln 2 \approx \frac{3.1416}{8} \times 0.6931 \approx 0.3927 \times 0.6931 \approx 0.2722$。 - $J = \frac{1}{2} (\ln 2)^2 \approx 0.5 \times 0.4805 = 0.24025$。 - $K = 2\sqrt{2}\ln 2 - 4\sqrt{2} + 4 \approx 2\times 1.4142\times 0.6931 - 4\times 1.4142 + 4 \approx 1.960 - 5.6568 + 4 = 0.3032$。 由近似值可见 $J < I < K$，即 $I < K$ 且 $J < I$，因此 $J < I < K$。 题目要求选择与 $I, J, K$ 大小关系对应的选项。选项（B）为 $I < K < J$，但实际是 $J < I < K$，故（B）不正确。选项（A）为 $I < J < K$，选项（C）为 $K < I < J$，选项（D）为 $J < K < I$。根据计算，$J$ 最小，$K$ 最大，$I$ 居中，所以正确顺序是 $J < I < K$，对应选项（D）。 因此，正确选项为（D）。