2011年考研数学一第3题

已知函数 $z = f(x) \ln f(y)$，其中 $f$ 具有二阶连续导数，且 $f(0) = 1$，$f'(0) = 0$。 首先对 $x$ 求偏导数，将 $y$ 视为常数： $$\frac{\partial z}{\partial x} = f'(x) \ln f(y).$$ 然后对 $y$ 求偏导数，将 $x$ 视为常数，注意 $ \ln f(y)$ 对 $y$ 的导数为 $\frac{f'(y)}{f(y)}$： $$\frac{\partial z}{\partial y} = f(x) \cdot \frac{f'(y)}{f(y)} = \frac{f(x) f'(y)}{f(y)}.$$ 现在验证点 $(0,0)$ 是否为驻点。将 $x=0, y=0$ 代入两个偏导数： 对于 $\frac{\partial z}{\partial x}$： $$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,0)} = f'(0) \ln f(0) = 0 \cdot \ln 1 = 0.$$ 对于 $\frac{\partial z}{\partial y}$： $$\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(0,0)} = \frac{f(0) f'(0)}{f(0)} = \frac{1 \cdot 0}{1} = 0.$$ 由于两个一阶偏导数在 $(0,0)$ 处均为 $0$，根据驻点的定义，点 $(0,0)$ 是函数 $z$ 的一个驻点。

已知函数 $z = f(x) \ln f(y)$，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，且 $f'(0)=0$。我们需要计算二阶偏导数 $A = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$、$B = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$、$C = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$，并代入点 $(0,0)$ 得到海森矩阵的元素。 首先，由一阶偏导数： $$\frac{\partial z}{\partial x} = f'(x) \ln f(y), \quad \frac{\partial z}{\partial y} = f(x) \cdot \frac{f'(y)}{f(y)}.$$ 对 $x$ 再求偏导得： $$A = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( f'(x) \ln f(y) \right) = f''(x) \ln f(y).$$ 混合偏导数： $$B = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( f'(x) \ln f(y) \right) = f'(x) \cdot \frac{f'(y)}{f(y)}.$$ 对 $y$ 求二阶偏导： $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( f(x) \frac{f'(y)}{f(y)} \right) = f(x) \cdot \frac{f''(y) f(y) - [f'(y)]^2}{[f(y)]^2}.$$ 因此 $$C = f(x) \cdot \frac{f''(y) f(y) - [f'(y)]^2}{[f(y)]^2}.$$ 代入点 $(0,0)$，并利用条件 $f'(0)=0$： $$A(0,0) = f''(0) \ln f(0),$$ $$B(0,0) = f'(0) \cdot \frac{f'(0)}{f(0)} = 0 \cdot 0 = 0,$$ $$C(0,0) = f(0) \cdot \frac{f''(0) f(0) - [f'(0)]^2}{[f(0)]^2} = f(0) \cdot \frac{f''(0) f(0)}{[f(0)]^2} = f''(0).$$ 因此海森矩阵在 $(0,0)$ 处的元素为：$A = f''(0) \ln f(0)$，$B = 0$，$C = f''(0)$。

对于二元函数 $z = f(x) \ln f(y)$，在点 $(0,0)$ 处，我们已经求得一阶偏导数为零，且二阶偏导数为：$A = f''(0) \ln f(0)$，$B = 0$，$C = f''(0)$。根据二元函数极值的充分条件（极值判定定理），设 $A = f_{xx}(0,0)$，$B = f_{xy}(0,0)$，$C = f_{yy}(0,0)$，则判别式为 $\Delta = AC - B^2$。 当 $A > 0$ 且 $\Delta > 0$ 时，函数在 $(0,0)$ 处取极小值；当 $A < 0$ 且 $\Delta > 0$ 时，函数在 $(0,0)$ 处取极大值；当 $\Delta < 0$ 时，不是极值点；当 $\Delta = 0$ 时，需进一步判定。 代入已知值：$A = f''(0) \ln f(0)$，$B = 0$，$C = f''(0)$，则 $$\Delta = AC - B^2 = f''(0) \ln f(0) \cdot f''(0) - 0 = [f''(0)]^2 \ln f(0).$$ 由于题目已知函数在 $(0,0)$ 处取得极小值，因此必须满足 $A > 0$ 且 $\Delta > 0$。即： $$f''(0) \ln f(0) > 0 \quad \text{且} \quad [f''(0)]^2 \ln f(0) > 0.$$ 注意 $[f''(0)]^2 \geq 0$，要使 $[f''(0)]^2 \ln f(0) > 0$，必须有 $f''(0) \neq 0$ 且 $\ln f(0) > 0$。同时由 $f''(0) \ln f(0) > 0$ 可知，$f''(0)$ 与 $\ln f(0)$ 同号。结合 $\ln f(0) > 0$，可得 $f''(0) > 0$。因此，极小值条件等价于： $$\ln f(0) > 0 \quad \text{且} \quad f''(0) > 0.$$

由前一步得到的条件$[f''(0)]^2 \ln f(0) > 0$，由于平方项$[f''(0)]^2 \geq 0$，且$f''(0)$为实数，要使乘积大于零，必须满足$[f''(0)]^2 > 0$且$\ln f(0) > 0$。$[f''(0)]^2 > 0$等价于$f''(0) \neq 0$，但结合后续分析，我们还需要进一步确定$f''(0)$的符号。 由$\ln f(0) > 0$，根据对数函数的单调性，可得$f(0) > 1$。 另外，原题中还有一个隐含条件：$f''(0) \ln f(0) > 0$（这是从题目条件中直接得到的，因为$f''(0) \ln f(0)$出现在二阶导数的表达式中，且该表达式在$x=0$处大于零）。结合已得的$\ln f(0) > 0$，要使$f''(0) \ln f(0) > 0$成立，必须有$f''(0) > 0$。 因此，$f(0)$和$f''(0)$应满足的关系为：$f(0) > 1$且$f''(0) > 0$。 验证：当$f(0) > 1$且$f''(0) > 0$时，$\ln f(0) > 0$，$[f''(0)]^2 \ln f(0) > 0$，且$f''(0) \ln f(0) > 0$，所有条件均成立。反之，若$f(0) \leq 1$或$f''(0) \leq 0$，则条件不满足。故充分必要条件为$f(0) > 1$且$f''(0) > 0$，对应选项(A)。