📋 详细解题步骤
目标：判断原级数在x=1处的敛散性
设原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，其中 $a_n$ 为已知系数。当 $x=1$ 时，级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$。我们需要判断该数项级数的敛散性。
首先，考虑部分和 $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$。由题目已知条件（或通过其他步骤推导）可知，部分和 $S_N$ 无界。这是因为题目中隐含了 $a_n$ 不趋于零或部分和发散的信息。具体地，若 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$，则级数必发散；但更一般地，即使 $a_n \to 0$，部分和无界也意味着级数发散。
由于部分和 $S_N$ 无界，根据级数收敛的必要条件（部分和有界）的逆否命题，可知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散。因此，原幂级数在 $x=1$ 处发散。
这一结论是后续步骤的基础：由于幂级数在 $x=1$ 处发散，其收敛半径 $R \leq 1$。同时，若已知级数在某个 $x_0$ 处收敛，则收敛半径至少为 $|x_0|$；此处发散则给出收敛半径的上界。
注意：这里仅判断了 $x=1$ 处的敛散性，并未涉及 $x=-1$ 或其他点。该步骤为整个问题提供了关键边界信息。
公式：$$S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n, \quad \lim_{N \to \infty} S_N \text{ 不存在或有界性破坏} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 发散}$$
提示：判断端点敛散性时，直接代入 $x$ 值转化为数项级数，再分析部分和或通项。
目标：判断原级数在x=-1处的敛散性
已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，其中 $a_n$ 单调递减且趋于0。我们需要判断该级数在 $x = -1$ 处的敛散性。
当 $x = -1$ 时，原级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n$。这是一个交错级数，其通项为 $(-1)^n a_n$。
根据莱布尼茨审敛法（Leibniz test），若交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n$（或 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n$）满足以下两个条件：
1. $b_n$ 单调递减（即 $b_{n+1} \leq b_n$ 对所有 $n$ 成立）；
2. $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$，
则该交错级数收敛。
在本题中，$b_n = a_n$，已知 $a_n$ 单调递减且趋于0，因此两个条件均满足。于是由莱布尼茨审敛法可知，交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n$ 收敛。
因此，原幂级数在 $x = -1$ 处收敛。注意，这里仅判断了收敛性，并未涉及绝对收敛或条件收敛的进一步讨论。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n \quad \text{收敛（由莱布尼茨审敛法）}$$
提示：注意莱布尼茨审敛法只适用于交错级数，且必须同时满足单调递减和极限为0两个条件。
目标：确定∑a_n x^n的收敛半径和收敛域
由前一步已知幂级数 $\sum a_n x^n$ 在 $x=1$ 处发散，在 $x=-1$ 处收敛。根据阿贝尔定理，幂级数的收敛区间关于原点对称，且收敛半径 $R$ 满足：若在 $x=R$ 处发散，在 $x=-R$ 处收敛，则收敛半径 $R$ 即为该端点绝对值。
具体地，设收敛半径为 $R$，则当 $|x|R$ 时发散。已知 $x=1$ 处发散，故 $R \leq 1$；又 $x=-1$ 处收敛，故 $R \geq 1$。因此必有 $R=1$。
收敛域需考虑端点：$x=1$ 处发散，故 $1$ 不在收敛域内；$x=-1$ 处收敛，故 $-1$ 在收敛域内。因此收敛域为 $[-1,1)$。
综上，幂级数 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径 $R=1$，收敛域为 $[-1,1)$。
公式：$$R = \sup\{ |x| : \sum a_n x^n \text{ 收敛} \} = 1, \quad \text{收敛域} = [-1,1)$$
提示：利用阿贝尔定理：端点一收一发时，收敛半径即为该端点的绝对值。
目标：通过平移得到目标幂级数的收敛域
已知原幂级数为$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-1)^n$，其收敛半径$R=1$，且由前一步骤已知在端点$x=0$处级数收敛，在$x=2$处级数发散。为了得到该幂级数的收敛域，我们进行变量平移。令$t = x-1$，则原级数化为$\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n$。这是一个以$t$为变量的标准幂级数，其收敛半径仍为$R=1$。因此，该幂级数在$|t|<1$时绝对收敛，在$|t|>1$时发散。在端点处，需要单独判断：当$t=-1$时，对应$x=0$，由前一步骤已知级数收敛；当$t=1$时，对应$x=2$，由前一步骤已知级数发散。所以，对于$t$的收敛域为$t \in [-1, 1)$。将$t=x-1$代回，得到$x-1 \in [-1, 1)$，即$x \in [0, 2)$。因此，原幂级数的收敛域为$x \in [0, 2)$。
公式：$$t = x-1, \quad \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-1)^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n, \quad \text{收敛域: } t \in [-1,1) \Rightarrow x \in [0,2)$$
提示：平移变换后，注意端点对应关系，将t的收敛域准确映射回x。
目标：选择正确选项
根据前几步的计算，我们已经求出了幂级数的收敛半径 $R=1$，并分别检验了端点 $x=0$ 和 $x=2$ 处的敛散性。
当 $x=0$ 时，原级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，这是交错级数，满足莱布尼茨判别法条件，故收敛。
当 $x=2$ 时，原级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，这是调和级数，发散。
因此，幂级数的收敛域为 $[0,2)$，即左闭右开区间。对照题目给出的四个选项：
(A) $(-1,1]$ \quad (B) $(-1,1)$ \quad (C) $[0,2)$ \quad (D) $(0,2]$
显然，选项 (C) 与我们的计算结果完全一致。
最终答案验证：取 $x=0$ 代入原级数，得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，收敛；取 $x=2$ 代入，得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，发散；取 $x=1$ 代入，得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \cdot 1^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，收敛，符合 $[0,2)$ 的特征。故正确选项为 (C)。
公式：\text{收敛域} = [0,2)
提示：端点检验时，分别代入后化为标准级数，利用已知结论快速判断。