2011年考研数学一第1题

拐点是函数曲线上凹凸性发生改变的点，其判定需要基于二阶导数。首先，函数$f(x)$在点$x_0$处存在拐点的必要条件是$f''(x_0)=0$或$f''(x_0)$不存在。但仅满足必要条件并不足以确定拐点，还需要检查二阶导数在$x_0$左右两侧的符号是否相反，即$f''(x)$在$x_0$左侧与右侧异号。 具体判定步骤： 1. 求出函数$f(x)$的二阶导数$f''(x)$。 2. 解方程$f''(x)=0$，得到可能的拐点横坐标$x_0$，同时考虑$f''(x)$不存在的点。 3. 对于每个候选点$x_0$，在$x_0$的左右邻域内分别取点$x_1x_0$，计算$f''(x_1)$和$f''(x_2)$的符号。 4. 若$f''(x_1)$与$f''(x_2)$异号，则点$(x_0, f(x_0))$为拐点；若同号，则不是拐点。 例如，对于函数$f(x)=x^3$，有$f''(x)=6x$。令$6x=0$得$x=0$。在$x=0$左侧取$x=-1$，$f''(-1)=-6<0$；右侧取$x=1$，$f''(1)=6>0$，符号相反，故$(0,0)$是拐点。而对于$f(x)=x^4$，$f''(x)=12x^2$，在$x=0$处$f''(0)=0$，但左右两侧$f''(x)$均非负，符号相同，故$x=0$不是拐点。 注意：拐点判定必须结合二阶导数符号变化，不能仅凭$f''(x_0)=0$就判定为拐点。

观察函数结构，发现函数为多个一次因式幂次的乘积形式：$y = (x-1)(x-2)^2(x-3)^3$。这种结构的特点是每个因式都是$x$的一次式，且幂次不同。直接求导时，由于乘积项较多，展开后求导计算量较大，且容易出错。因此，考虑采用对数求导法或提取公因式法来简化求导过程。 **方法一：对数求导法** 对函数两边取自然对数，利用对数性质将乘积转化为和的形式： $$ \ln y = \ln(x-1) + 2\ln(x-2) + 3\ln(x-3) $$ 然后对$x$求导，左边为$\frac{y'}{y}$，右边为各项导数之和： $$ \frac{y'}{y} = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x-3} $$ 最后乘以$y$得到$y'$的表达式。 **方法二：直接求导并提取公因式** 直接应用乘积法则： $$ y' = (x-2)^2(x-3)^3 + (x-1)\cdot 2(x-2)(x-3)^3 + (x-1)(x-2)^2\cdot 3(x-3)^2 $$ 观察每一项，发现都含有公因式$(x-2)(x-3)^2$，提取后可得： $$ y' = (x-2)(x-3)^2\left[(x-2)(x-3) + 2(x-1)(x-3) + 3(x-1)(x-2)\right] $$ 这样就将求导后的表达式化简为因式乘积形式，便于后续求导数值或进一步分析。 本步骤的核心是识别函数结构，选择合适的方法简化求导过程，避免繁琐的展开运算。

已知函数 $y = \left( \frac{x}{1+x} \right)^x$，首先取自然对数得 $\ln y = x \ln \left( \frac{x}{1+x} \right)$。对等式两边关于 $x$ 求导，左边为 $\frac{1}{y} \cdot y'$，右边为乘积的导数：$\frac{d}{dx} \left[ x \ln \left( \frac{x}{1+x} \right) \right] = \ln \left( \frac{x}{1+x} \right) + x \cdot \frac{d}{dx} \left[ \ln \left( \frac{x}{1+x} \right) \right]$。 计算 $\frac{d}{dx} \ln \left( \frac{x}{1+x} \right)$：令 $u = \frac{x}{1+x}$，则 $\ln u$ 的导数为 $\frac{1}{u} \cdot u'$。而 $u' = \frac{(1+x) - x}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$，所以 $\frac{d}{dx} \ln \left( \frac{x}{1+x} \right) = \frac{1}{x/(1+x)} \cdot \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{1+x}{x} \cdot \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{1}{x(1+x)}$。 代入得：$\frac{1}{y} y' = \ln \left( \frac{x}{1+x} \right) + x \cdot \frac{1}{x(1+x)} = \ln \left( \frac{x}{1+x} \right) + \frac{1}{1+x}$。 两边乘以 $y$ 得：$y' = y \left[ \ln \left( \frac{x}{1+x} \right) + \frac{1}{1+x} \right]$。 将 $y = \left( \frac{x}{1+x} \right)^x$ 代回，得到一阶导数表达式： $$y' = \left( \frac{x}{1+x} \right)^x \left[ \ln \left( \frac{x}{1+x} \right) + \frac{1}{1+x} \right]$$。 因此，一阶导数已求出，结果可写为 $y$ 乘以一个多项式（此处多项式为 $\ln \left( \frac{x}{1+x} \right) + \frac{1}{1+x}$）。

已知一阶导数为 $y' = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{1 + \ln y}$（或由隐函数求导得到的其他形式）。为求二阶导数 $y''$，对 $y'$ 关于 $x$ 再求导。注意 $y$ 是 $x$ 的函数，因此求导时需使用复合函数求导法则。 设 $y' = \frac{y}{x(1+\ln y)}$，则 $$y'' = \frac{d}{dx}\left( \frac{y}{x(1+\ln y)} \right).$$ 应用商的求导法则： $$y'' = \frac{y' \cdot x(1+\ln y) - y \cdot \left[ x(1+\ln y) \right]'}{\left[ x(1+\ln y) \right]^2}.$$ 先计算分子中的导数： $$\left[ x(1+\ln y) \right]' = 1 \cdot (1+\ln y) + x \cdot \frac{1}{y} \cdot y' = 1+\ln y + \frac{x y'}{y}.$$ 代入 $y' = \frac{y}{x(1+\ln y)}$，得 $$\frac{x y'}{y} = \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x(1+\ln y)} = \frac{1}{1+\ln y}.$$ 因此 $$\left[ x(1+\ln y) \right]' = 1+\ln y + \frac{1}{1+\ln y}.$$ 现在分子为： $$y' \cdot x(1+\ln y) - y \cdot \left( 1+\ln y + \frac{1}{1+\ln y} \right).$$ 将 $y' = \frac{y}{x(1+\ln y)}$ 代入第一项： $$y' \cdot x(1+\ln y) = \frac{y}{x(1+\ln y)} \cdot x(1+\ln y) = y.$$ 所以分子简化为： $$y - y\left( 1+\ln y + \frac{1}{1+\ln y} \right) = y - y - y\ln y - \frac{y}{1+\ln y} = -y\ln y - \frac{y}{1+\ln y}.$$ 提取公因子 $y$： $$分子 = -y \left( \ln y + \frac{1}{1+\ln y} \right).$$ 分母为 $\left[ x(1+\ln y) \right]^2 = x^2 (1+\ln y)^2$。 因此二阶导数为： $$y'' = \frac{-y \left( \ln y + \frac{1}{1+\ln y} \right)}{x^2 (1+\ln y)^2}.$$ 进一步整理，将括号内通分： $$\ln y + \frac{1}{1+\ln y} = \frac{\ln y (1+\ln y) + 1}{1+\ln y} = \frac{\ln y + (\ln y)^2 + 1}{1+\ln y}.$$ 于是 $$y'' = -\frac{y}{x^2 (1+\ln y)^2} \cdot \frac{(\ln y)^2 + \ln y + 1}{1+\ln y} = -\frac{y \left[ (\ln y)^2 + \ln y + 1 \right]}{x^2 (1+\ln y)^3}.$$ 这就是所求的二阶导数表达式。

已知曲线方程为 $y = (x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4$。前四步已求得一阶导数和二阶导数表达式，并确定可能的拐点候选为 $x=1,2,3,4$。本步需逐一判断这些点处二阶导数是否为零，并考察左右邻域符号是否改变。 由于 $y$ 在 $x=1,2,3,4$ 处均为零，且各因式幂次不同，可通过分析各因式在点附近的符号变化来判定拐点。 **点 $x=1$**：因式 $(x-1)$ 为一次幂，在 $x=1$ 处 $y=0$。考虑 $x$ 略小于1时，$(x-1)<0$，其余因式 $(x-2)^2$、$(x-3)^3$、$(x-4)^4$ 在 $x=1$ 附近均为负（平方、四次方为正，三次方为负），故 $y$ 符号为负；$x$ 略大于1时，$(x-1)>0$，其余因式符号不变，$y$ 为正。因此 $y$ 在 $x=1$ 处变号，但一阶导数 $y'$ 在 $x=1$ 处为零（因 $(x-1)$ 因子），二阶导数 $y''$ 在 $x=1$ 处是否为零？由 $y$ 表达式知，$y$ 在 $x=1$ 处有一重根，故 $y'$ 在 $x=1$ 处不为零（实际上 $y'$ 在 $x=1$ 处等于 $(1-2)^2(1-3)^3(1-4)^4 \neq 0$），因此 $x=1$ 不是拐点候选（二阶导数不为零）。 **点 $x=2$**：因式 $(x-2)^2$ 为二次幂，在 $x=2$ 处 $y=0$。$x$ 略小于2时，$(x-2)^2>0$，$(x-1)<0$，$(x-3)^3<0$，$(x-4)^4>0$，乘积符号为正；$x$ 略大于2时，$(x-2)^2>0$，其余因式符号不变，乘积符号仍为正。故 $y$ 在 $x=2$ 处不变号，且 $y'$ 在 $x=2$ 处为零（二重根），$y''$ 在 $x=2$ 处可能为零，但左右邻域 $y''$ 符号不变（因为 $y$ 本身不变号，且二阶导数符号由 $y$ 的凹凸性决定，此处 $y$ 在 $x=2$ 两侧均为正，曲线为凹或凸？需具体计算 $y''$ 符号，但由 $y$ 不变号可推断 $y''$ 在 $x=2$ 处不变号），故 $x=2$ 不是拐点。 **点 $x=3$**：因式 $(x-3)^3$ 为三次幂，在 $x=3$ 处 $y=0$。$x$ 略小于3时，$(x-3)^3<0$，$(x-1)<0$，$(x-2)^2>0$，$(x-4)^4>0$，乘积符号为负；$x$ 略大于3时，$(x-3)^3>0$，其余因式符号不变，乘积符号为正。故 $y$ 在 $x=3$ 处变号。由于三重根，$y'$ 和 $y''$ 在 $x=3$ 处均为零，且 $y''$ 左右邻域符号改变（因为 $y$ 的凹凸性改变），因此 $x=3$ 是拐点。 **点 $x=4$**：因式 $(x-4)^4$ 为四次幂，在 $x=4$ 处 $y=0$。$x$ 略小于4时，$(x-4)^4>0$，$(x-1)<0$，$(x-2)^2>0$，$(x-3)^3>0$，乘积符号为负；$x$ 略大于4时，$(x-4)^4>0$，其余因式符号不变，乘积符号仍为负。故 $y$ 在 $x=4$ 处不变号，且 $y''$ 在 $x=4$ 处为零但不变号，故不是拐点。 综上，仅 $x=3$ 处满足二阶导数为零且左右变号，因此拐点横坐标为 $x=3$，对应选项为 (C)。