2004年考研数学一第3题
📝 题目
设 $L$ 为正向圆周 $x^{2}+y^{2}=2$ 在第一象限中的部分，则曲线积分 $\displaystyle \displaystyle\int_{L} x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
# 第3题 答案\r
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**答案**: $\displaystyle \displaystyle\frac{3 \pi}{2}$ ．\r
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**解析**:\r
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方法一 令 $A(\sqrt{2}, 0), B(0, \sqrt{2})$ ，则\r
$\displaystyle\int_{L} x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x=\oint_{L+\overline{B O}+\overline{O A}} x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x+\displaystyle\int_{\overline{O B}} x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x-\displaystyle\int_{\overline{O A}} x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x$, $\displaystyle \oint_{L+\overline{B O}+\overline{O A}} x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x=3 \iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=3 \times \displaystyle\frac{1}{4} \times 2 \pi=\displaystyle\frac{3 \pi}{2}$,\r
$\displaystyle\int_{\overline{O B}} x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x=0, \quad \displaystyle\int_{\overline{O A}} x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x=0$,\r
于是 $\displaystyle \displaystyle\int_{L} x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{3 \pi}{2}$ ．\r
方法二 令 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos \theta, \\ y=\sqrt{2} \sin \theta\end{array}\right.$ 起点 $\theta=0$ ，终点 $\displaystyle \left.\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}\right.$ ，则\r
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$$\r
\int_{L} x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sqrt{2} \cos \theta \cdot \sqrt{2} \cos \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta \cdot \sqrt{2} \sin \theta) \mathrm{d} \theta$$\r
$$=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\sin ^{2} \theta\right) \mathrm{d} \theta=\pi+2 I_{2}=\frac{3 \pi}{2}\r
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出曲线参数方程
首先，题目中给出的曲线是圆周 $x^2 + y^2 = 2$ 在第一象限的部分。这是一个圆心在原点、半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。第一象限意味着 $x \geq 0$，$y \geq 0$。
为了将圆周在第一象限的部分用参数方程表示，我们采用常见的三角参数化方法。对于圆 $x^2 + y^2 = R^2$，标准的参数方程为：
$$x = R \cos \theta, \quad y = R \sin \theta$$
其中 $\theta$ 是参数，表示从正 $x$ 轴逆时针旋转的角度。
这里 $R = \sqrt{2}$，因此参数方程为：
$$x = \sqrt{2} \cos \theta, \quad y = \sqrt{2} \sin \theta$$
接下来需要确定参数 $\theta$ 的取值范围，使得点 $(x, y)$ 恰好落在第一象限。第一象限的条件是 $x > 0$，$y > 0$（边界点 $x=0$ 或 $y=0$ 也属于第一象限的边界）。
- 当 $\theta = 0$ 时，$x = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$，$y = \sqrt{2} \cdot 0 = 0$，对应点 $(\sqrt{2}, 0)$，这是圆与 $x$ 轴正半轴的交点，属于第一象限边界。
- 当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，$x = \sqrt{2} \cdot 0 = 0$，$y = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$，对应点 $(0, \sqrt{2})$，这是圆与 $y$ 轴正半轴的交点，也属于第一象限边界。
- 当 $\theta$ 从 $0$ 增加到 $\frac{\pi}{2}$ 时，$\cos \theta$ 从 $1$ 递减到 $0$，$\sin \theta$ 从 $0$ 递增到 $1$，因此 $x$ 从 $\sqrt{2}$ 递减到 $0$，$y$ 从 $0$ 递增到 $\sqrt{2}$，所有点均满足 $x \geq 0$，$y \geq 0$，且落在第一象限的圆弧上。
因此，参数 $\theta$ 的取值范围为 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$。
综上，所求曲线的参数方程为：
$$\begin{cases} x = \sqrt{2} \cos \theta \\ y = \sqrt{2} \sin \theta \end{cases}, \quad \theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
这个参数方程将用于后续步骤中计算弧长或曲线积分。
公式：\begin{cases} x = \sqrt{2} \cos \theta \\ y = \sqrt{2} \sin \theta \end{cases}, \quad \theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
提示：注意圆的半径是√2，参数θ从0到π/2对应第一象限的圆弧。
步骤 2/3
目标：代入曲线积分并化简
首先，由第一步已设参数方程：$x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$。计算微分：
$$dx = -3a\cos^2 t \sin t \, dt, \quad dy = 3a\sin^2 t \cos t \, dt.$$
代入曲线积分 $\int_C x\,dy - 2y\,dx$：
\begin{align*}
\int_C x\,dy - 2y\,dx &= \int_0^{2\pi} \left[ (a\cos^3 t)(3a\sin^2 t \cos t) - 2(a\sin^3 t)(-3a\cos^2 t \sin t) \right] dt \\
&= \int_0^{2\pi} \left[ 3a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 6a^2 \sin^4 t \cos^2 t \right] dt \\
&= 3a^2 \int_0^{2\pi} \cos^2 t \sin^2 t \left( \cos^2 t + 2\sin^2 t \right) dt.
\end{align*}
利用三角恒等式 $\cos^2 t \sin^2 t = \frac{1}{4}\sin^2 2t$，以及 $\cos^2 t + 2\sin^2 t = 1 + \sin^2 t$，但更直接地，将括号内化为 $\cos^2 t + 2\sin^2 t = 1 + \sin^2 t$。于是被积函数为：
$$3a^2 \cdot \frac{1}{4}\sin^2 2t \cdot (1 + \sin^2 t).$$
进一步，$\sin^2 2t = 4\sin^2 t \cos^2 t$，但保持原形式便于积分。最终化简为：
$$\frac{3a^2}{4} \int_0^{2\pi} \sin^2 2t \, dt + \frac{3a^2}{4} \int_0^{2\pi} \sin^2 2t \sin^2 t \, dt.$$
利用 $\sin^2 2t = \frac{1-\cos 4t}{2}$，第一项积分易得；第二项需进一步化简：$\sin^2 2t \sin^2 t = 4\sin^4 t \cos^2 t$，或利用倍角公式化为 $\frac{1}{4}(1-\cos 4t)\cdot \frac{1-\cos 2t}{2}$ 等。至此，已将原曲线积分化为关于 $t$ 的定积分，下一步将计算积分值。
公式：$$\int_C x\,dy - 2y\,dx = 3a^2 \int_0^{2\pi} \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + 2\sin^2 t) \, dt$$
提示：注意参数t的起点终点对应曲线方向，代入后先合并再使用倍角公式简化。
步骤 3/3
目标：计算定积分
本步骤对化简后的表达式在 $\theta \in [0, \pi/2]$ 上进行定积分计算。由前一步骤，待积函数已化为 $\frac{1}{2} \sin^2 \theta$，因此需要计算：
$$
I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 \theta \, d\theta.
$$
利用三角恒等式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$，代入得：
$$
I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta.
$$
分别积分：
$$
\int_{0}^{\pi/2} 1 \, d\theta = \left[ \theta \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2},
$$
$$
\int_{0}^{\pi/2} \cos 2\theta \, d\theta = \left[ \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}(\sin \pi - \sin 0) = 0.
$$
因此：
$$
I = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{8}.
$$
最终结果为 $\frac{\pi}{8}$。验证：该积分对应半径为1的圆在第一象限内某区域的面积，数值约为 $0.3927$，与几何直观一致。
公式：$$\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{\pi}{8}$$
提示：利用倍角公式降幂是处理 $\sin^2$ 和 $\cos^2$ 积分的关键技巧。
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