2004年考研数学一第4题

对于欧拉方程，其一般形式为 $ax^2\frac{d^2y}{dx^2}+bx\frac{dy}{dx}+cy=f(x)$。为了将其转化为常系数线性微分方程，我们引入自变量代换 $x=e^t$，则 $t=\ln x$（$x>0$）。此时，$y$ 成为 $t$ 的函数。 首先，计算一阶导数： $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{1}{x}.$$ 因此， $$x\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}.$$ 引入微分算子 $D=\frac{d}{dt}$，则上式可写为 $x\frac{dy}{dx}=Dy$。 其次，计算二阶导数： $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dt}\right).$$ 其中 $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}$，而 $\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dt}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{d^2y}{dt^2}\cdot\frac{1}{x}$。代入得： $$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right).$$ 两边乘以 $x^2$： $$x^2\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}=D(D-1)y,$$ 其中 $D^2y=\frac{d^2y}{dt^2}$。 至此，我们完成了微分算子的变换： $$x\frac{dy}{dx}=Dy,\quad x^2\frac{d^2y}{dx^2}=D(D-1)y.$$ 将原欧拉方程中的 $x\frac{dy}{dx}$ 和 $x^2\frac{d^2y}{dx^2}$ 分别用上述算子替换，即可得到一个关于 $y(t)$ 的常系数线性微分方程。

已知变换 $x = e^t$，则 $t = \ln x$。设 $y = y(t)$，并引入微分算子 $D = \frac{d}{dt}$。根据第一步的推导，有： $$x y' = D y, \quad x^2 y'' = D(D-1)y.$$ 原方程为： $$x^2 y'' + 4x y' + 2y = 0.$$ 将上述算子表达式代入： $$D(D-1)y + 4 D y + 2y = 0.$$ 展开 $D(D-1)y = D^2 y - D y$，代入得： $$(D^2 y - D y) + 4 D y + 2y = 0.$$ 合并同类项： $$D^2 y + (-1+4)D y + 2y = 0,$$ 即 $$D^2 y + 3 D y + 2y = 0.$$ 回到导数记号，$D^2 y = \frac{d^2 y}{dt^2}$，$D y = \frac{dy}{dt}$，因此得到关于 $t$ 的常系数线性齐次微分方程： $$\frac{d^2 y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0.$$ 该方程的特征方程为 $r^2 + 3r + 2 = 0$，可进一步求解。

对于二阶常系数齐次线性微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 0$，我们首先写出其特征方程。将 $y''$ 对应 $r^2$，$y'$ 对应 $r$，$y$ 对应常数项，得到特征方程： $$r^2 + 3r + 2 = 0$$ 这是一个一元二次方程，利用因式分解法求解： $$r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2) = 0$$ 因此，特征根为 $r_1 = -1$，$r_2 = -2$。由于两个特征根均为不相等的实根，根据常系数齐次线性微分方程解的结构，通解形式为： $$y = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$$ 代入特征根，得到原微分方程的通解： $$y = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}$$ 其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。

在上一节中，我们通过变量代换 $t = \ln x$ 将原欧拉方程化为了关于 $y(t)$ 的常系数线性微分方程，并求得了其通解为 $y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}$，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。现在需要将变量 $t$ 回代到原自变量 $x$，即利用 $t = \ln x$ 的关系，将 $y(t)$ 表达式中的 $e^{-t}$ 和 $e^{-2t}$ 转化为 $x$ 的函数。 由于 $t = \ln x$，则 $e^t = x$，因此 $e^{-t} = \frac{1}{e^t} = \frac{1}{x}$，而 $e^{-2t} = (e^{-t})^2 = \frac{1}{x^2}$。代入通解表达式得： $$y = C_1 \cdot \frac{1}{x} + C_2 \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2}.$$ 这就是原欧拉方程的通解，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。 **验证**：将 $y = \frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2}$ 代入原方程 $x^2 y'' + 4x y' + 2y = 0$ 进行检验。先计算一阶导数：$y' = -\frac{C_1}{x^2} - \frac{2C_2}{x^3}$；二阶导数：$y'' = \frac{2C_1}{x^3} + \frac{6C_2}{x^4}$。代入得： $$x^2 y'' = x^2 \left( \frac{2C_1}{x^3} + \frac{6C_2}{x^4} \right) = \frac{2C_1}{x} + \frac{6C_2}{x^2},$$ $$4x y' = 4x \left( -\frac{C_1}{x^2} - \frac{2C_2}{x^3} \right) = -\frac{4C_1}{x} - \frac{8C_2}{x^2},$$ $$2y = \frac{2C_1}{x} + \frac{2C_2}{x^2}.$$ 三式相加得：$\left( \frac{2C_1}{x} - \frac{4C_1}{x} + \frac{2C_1}{x} \right) + \left( \frac{6C_2}{x^2} - \frac{8C_2}{x^2} + \frac{2C_2}{x^2} \right) = 0 + 0 = 0$，满足原方程，故通解正确。