2012年考研数学一第22题

首先，我们需要找出联合分布表中所有满足条件 $X = 2Y$ 的点。根据题目给出的联合分布表，可能的取值组合为： - 当 $Y = 0$ 时，$X = 2 \times 0 = 0$，对应点 $(0,0)$，其概率为 $\frac{1}{4}$。 - 当 $Y = 1$ 时，$X = 2 \times 1 = 2$，对应点 $(2,1)$，其概率为 $0$。 - 当 $Y = 2$ 时，$X = 2 \times 2 = 4$，但 $X$ 的可能取值中不包含 $4$，因此无对应点。 因此，满足 $X = 2Y$ 的所有可能点为 $(0,0)$ 和 $(2,1)$。事件 $\{X = 2Y\}$ 的概率等于这些点概率之和： $$P\{X = 2Y\} = P(X=0, Y=0) + P(X=2, Y=1) = \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{4}.$$

已知二维随机变量$(X,Y)$的联合分布律如下表所示： | X\Y | 0 | 1 | 2 | |-----|---|---|---| | 0 | $\frac{1}{4}$ | 0 | $\frac{1}{4}$ | | 1 | 0 | $\frac{1}{3}$ | 0 | | 2 | $\frac{1}{12}$ | 0 | $\frac{1}{12}$ | 要求$X$的边缘分布律，即对联合分布按行求和。对于离散型随机变量，$X$的边缘分布律为： $$P(X=x_i)=\sum_{j} P(X=x_i, Y=y_j)$$ 计算过程如下： 1. 当$X=0$时： $$P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=2)=\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$ 2. 当$X=1$时： $$P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=2)=0+\frac{1}{3}+0=\frac{1}{3}$$ 3. 当$X=2$时： $$P(X=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=\frac{1}{12}+0+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$$ 因此，$X$的边缘分布律为： $$P(X=0)=\frac{1}{2},\quad P(X=1)=\frac{1}{3},\quad P(X=2)=\frac{1}{6}$$ 验证概率之和：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$，结果正确。

已知二维随机变量$(X,Y)$的联合分布律为： $$\begin{array}{c|ccc} X\backslash Y & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} \\ 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & \frac{1}{12} & 0 & \frac{1}{12} \end{array}$$ 求$Y$的边缘分布，即对联合分布律按列求和。$Y$的可能取值为$0,1,2$。 首先计算$P(Y=0)$：将第一列的所有概率相加，即$P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)=\frac{1}{4}+0+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。 其次计算$P(Y=1)$：将第二列的所有概率相加，即$P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=0+\frac{1}{3}+0=\frac{1}{3}$。 最后计算$P(Y=2)$：将第三列的所有概率相加，即$P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=2)=\frac{1}{4}+0+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。 因此，$Y$的边缘分布律为： $$P(Y=0)=\frac{1}{3},\quad P(Y=1)=\frac{1}{3},\quad P(Y=2)=\frac{1}{3}$$ 即$Y$服从均匀分布。

根据离散型随机变量期望的定义，期望值等于随机变量所有可能取值与其对应概率的乘积之和。 首先计算随机变量 $X$ 的期望 $E(X)$。由前一步得到的分布律： - $P(X=0) = \frac{1}{2}$ - $P(X=1) = \frac{1}{3}$ - $P(X=2) = \frac{1}{6}$ 因此， $$ E(X) = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{6} = 0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. $$ 接下来计算随机变量 $Y$ 的期望 $E(Y)$。由前一步得到的分布律： - $P(Y=0) = \frac{1}{3}$ - $P(Y=1) = \frac{1}{3}$ - $P(Y=2) = \frac{1}{3}$ 因此， $$ E(Y) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{3} = 0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1. $$ 至此，我们得到了 $E(X)=\frac{2}{3}$，$E(Y)=1$。

已知随机变量$Y$的分布律为：$P(Y=0)=\frac{1}{3}$，$P(Y=1)=\frac{1}{3}$，$P(Y=2)=\frac{1}{3}$。 首先计算$E(Y^2)$。根据离散型随机变量函数的数学期望公式，有 $$E(Y^2)=\sum_{k} y_k^2 \cdot P(Y=y_k)=0^2\times\frac{1}{3}+1^2\times\frac{1}{3}+2^2\times\frac{1}{3}=0+\frac{1}{3}+\frac{4}{3}=\frac{5}{3}.$$ 然后计算方差$D(Y)$。利用方差的计算公式$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$。由前一步已知$E(Y)=1$，所以 $$D(Y)=\frac{5}{3}-1^2=\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}.$$ 因此，$E(Y^2)=\frac{5}{3}$，$D(Y)=\frac{2}{3}$。

首先，确定随机变量$XY$的可能取值。由于$X$和$Y$的取值均为$0,1,2$，因此$XY$的可能取值为$0,1,4$。 计算$XY$取各值的概率： - $P(XY=0)$：包含所有使得$X=0$或$Y=0$的联合概率，即$(X,Y)$取值为$(0,0),(0,2),(1,0),(1,2),(2,0)$。由已知联合分布：$P(0,0)=\frac{1}{4}$，$P(0,2)=\frac{1}{4}$，$P(1,0)=0$，$P(1,2)=0$，$P(2,0)=\frac{1}{12}$。求和得$P(XY=0)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+0+0+\frac{1}{12}=\frac{7}{12}$。 - $P(XY=1)$：仅当$(X,Y)=(1,1)$时，$P(1,1)=\frac{1}{3}$。 - $P(XY=4)$：仅当$(X,Y)=(2,2)$时，$P(2,2)=\frac{1}{12}$。 因此，$XY$的分布律为： $$P(XY=0)=\frac{7}{12},\quad P(XY=1)=\frac{1}{3},\quad P(XY=4)=\frac{1}{12}.$$ 计算数学期望$E(XY)$： $$E(XY)=0\times\frac{7}{12}+1\times\frac{1}{3}+4\times\frac{1}{12}=0+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

协方差 $\operatorname{Cov}(X,Y)$ 用于衡量两个随机变量 $X$ 与 $Y$ 之间的线性相关程度，其计算公式为： $$ \operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y). $$ 在前面的步骤中，我们已经分别求得： - 期望 $E(X) = \frac{2}{3}$， - 期望 $E(Y) = 1$， - 乘积的期望 $E(XY) = \frac{2}{3}$。 将上述数值代入协方差公式： $$ \operatorname{Cov}(X,Y) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0. $$ 因此，$X$ 与 $Y$ 的协方差为 $0$。协方差为零表明两个随机变量之间不存在线性相关关系，但需要注意，这并不一定意味着它们相互独立（独立性需要进一步验证联合分布是否等于边缘分布的乘积）。

本步骤的目标是计算协方差 $\operatorname{Cov}(X-Y, Y)$。利用协方差的线性性质，有： $$ \operatorname{Cov}(X-Y, Y) = \operatorname{Cov}(X, Y) - \operatorname{Cov}(Y, Y) = \operatorname{Cov}(X, Y) - D(Y). $$ 根据前面步骤的计算结果，已知 $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$，$D(Y) = \frac{2}{3}$。代入上式得： $$ \operatorname{Cov}(X-Y, Y) = 0 - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}. $$ 因此，$X-Y$ 与 $Y$ 的协方差为 $-\frac{2}{3}$。 最终答案验证：本题要求计算 $\operatorname{Cov}(X-Y, Y)$，我们通过协方差的性质和已知的 $\operatorname{Cov}(X,Y)$ 与 $D(Y)$ 直接得出结果 $-\frac{2}{3}$。该结果与题目所给答案一致，且计算过程符合协方差运算规则，故正确。