设函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\left(\mathrm{e}^{2 x}-2\right) \cdots\left(\mathrm{e}^{n x}-n\right)$ ，其中 $n$ 为正整数，则 $f^{\prime}(0)=$
如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是 设 $I_{k}=\displaystyle\int_{0}^{k \pi} \mathrm{e}^{x^{2}} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有
设 $I_{k}=\displaystyle\int_{0}^{k \pi} \mathrm{e}^{x^{2}} \sin$
\text { 限 } \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}} \text { 存在. }
$$
IIII
设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{4}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right)$ ，其中 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为
设 $\boldsymbol{A}$ 为3阶矩阵， $\boldsymbol{P}$ 为3阶可逆矩阵，且 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 。若 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ ， $\boldsymbol{Q}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ ，则 $\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 $P\{X\lt Y\}=$
将长度为 1 m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为
若函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x}$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\int_{0}^{2} x \sqrt{2 x-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ． $\left.(11) \operatorname{grad}\left(x y+\displaystyle\frac{z}{y}\right)\right|_{(2,1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ． （12）设 $\Sigma=\{(x, y, z) \mid x+y+z=1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\}$ ，则 $\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} S=$ $\_\_\_\_$ ． （13）设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为3维单位列向量， $\boldsymbol{E}$ 为3阶单位矩阵，则矩阵 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的秩为 $\_\_\_\_$。 （14）设 $A, B, C$ 是随机事件，$A$ 与 $C$ 互不相容，$P(A B)=\displaystyle\frac{1}{2}, P(C)=\displaystyle\frac{1}{3}$ ，则 $P(A B \mid \bar{C})=$
设 $\Sigma=\{(x, y, z) \mid x+y+z=1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\}$ ，则 $\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为3维单位列向量， $\boldsymbol{E}$ 为3阶单位矩阵，则矩阵 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的秩为 $\_\_\_\_$。
设 $A, B, C$ 是随机事件，$A$ 与 $C$ 互不相容，$P(A B)=\displaystyle\frac{1}{2}, P(C)=\displaystyle\frac{1}{3}$ ，则 $P(A B \mid \bar{C})=$
证明：$x \ln \displaystyle\frac{1+x}{1-x}+\cos x \geqslant 1+\displaystyle\frac{x^{2}}{2} \quad(-1\lt x\lt 1)$ ．
求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\frac{4 n^{2}+4 n+3}{2 n+1} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数．
已知曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x=f(t), \\ y=\cos t\end{array}\left(0 \leqslant t\lt\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\right.$ ，其中函数 $f(t)$ 具有连续导数，且 $f(0)=0, f^{\prime}(t)\gt 0\left(0\lt t\lt\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$ ．若曲线 $L$ 的切线与 $x$ 轴的交点到切点的距离恒为 1 ，求函数 $f(t)$ 的表达式，并求以曲线 $L$ 及 $x$ 轴和 $y$ 轴为边界的区域的面积。
已知 $L$ 是第一象限中从点 $(0,0)$ 沿圆周 $x^{2}+y^{2}=2 x$ 到点 $(2,0)$ ，再沿圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 到点 $(0,2)$ 的曲线段，计算曲线积分 $I=\displaystyle\int_{L} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+\left(x^{3}+x-2 y\right) \mathrm{d} y$ 。
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ． （I）计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$ ； （II）当实数 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解，并求其通解。
已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$ ，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}$ 的秩为 2 。 （I）求实数 $a$ 的值； （II）求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 将二次型 $f$ 化为标准形．
设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
| $X$ | 0 | 1 | 2 |
| 0 | $\displaystyle\frac{1}{4}$ | 0 | $\displaystyle\frac{1}{4}$ |
| 1 | 0 | $\displaystyle\frac{1}{3}$ | 0 |
| 2 | $\displaystyle\frac{1}{12}$ | 0 | $\displaystyle\frac{1}{12}$ |
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 与 $N\left(\mu, 2 \sigma^{2}\right)$ ，其中 $\sigma$ 是未知参数且 $\sigma\gt 0$ 。记 $Z=X-Y$ 。 （I）求 $Z$ 的概率密度 $f\left(z ; \sigma^{2}\right)$ ； （II）设 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本，求 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量 $\widehat{\sigma^{2}}$ ； （III）证明 $\widehat{\sigma^{2}}$ 为 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量。