2012年考研数学一第2题

首先，根据题目条件，函数$f(x)$由$n$个因式相乘构成。每个因式的形式为$e^{kx} - k$，其中$k$从1取到$n$。因此，$f(x)$可以明确地写成： $$f(x) = (e^{1\cdot x} - 1)(e^{2\cdot x} - 2)(e^{3\cdot x} - 3)\cdots(e^{n\cdot x} - n).$$ 更简洁地，利用连乘符号表示为： $$f(x) = \prod_{k=1}^{n} (e^{kx} - k).$$ 这里，$e^{kx}$是指数函数，$k$是正整数常数。当$x=0$时，每个因式变为$e^{0} - k = 1 - k$，因此$f(0) = \prod_{k=1}^{n}(1-k) = \prod_{k=1}^{n}(- (k-1)) = (-1)^n \cdot 0! = 0$（因为当$k=1$时，$1-1=0$，所以整个乘积为0）。这个性质在后续步骤中可能会用到。 注意，这里的$n$是给定的正整数，题目中未明确写出，但根据题号200的原始题目（2012年数学一第2题），$n$应为某个具体数值（通常为$n=4$或$n=5$等），但在此步骤中我们保留一般形式。如果题目有具体$n$，则直接代入即可。例如，若$n=4$，则$f(x) = (e^x-1)(e^{2x}-2)(e^{3x}-3)(e^{4x}-4)$。 至此，我们完成了步骤目标：将$f(x)$表示为明确的乘积形式。

设函数 $f(x) = (e^x - 1)(e^{2x} - 2)(e^{3x} - 3)\cdots(e^{nx} - n)$，这是一个由 $n$ 个因式相乘构成的函数。为了求 $f'(x)$，我们应用乘积求导法则（莱布尼茨法则）。对于多个函数乘积的导数，有公式： $$(u_1 u_2 \cdots u_n)' = u_1' u_2 \cdots u_n + u_1 u_2' \cdots u_n + \cdots + u_1 u_2 \cdots u_n'.$$ 这里，令 $u_1 = e^x - 1$，$u_2 = e^{2x} - 2$，$u_3 = e^{3x} - 3$，$\ldots$，$u_n = e^{nx} - n$。对每个因式分别求导： - $u_1' = e^x$（因为 $(e^x - 1)' = e^x$） - $u_2' = 2e^{2x}$（因为 $(e^{2x} - 2)' = 2e^{2x}$） - $u_3' = 3e^{3x}$ - $\ldots$ - $u_n' = n e^{nx}$ 根据乘积求导法则，$f'(x)$ 等于每一项中一个因式求导、其余因式保持不变的 $n$ 个项之和。具体写出： 第一项：对第一个因式求导，其余因式不变，得 $e^x \cdot (e^{2x} - 2)(e^{3x} - 3)\cdots(e^{nx} - n)$。 第二项：对第二个因式求导，其余因式不变，得 $(e^x - 1) \cdot 2e^{2x} \cdot (e^{3x} - 3)\cdots(e^{nx} - n)$。 第三项：对第三个因式求导，其余因式不变，得 $(e^x - 1)(e^{2x} - 2) \cdot 3e^{3x} \cdots(e^{nx} - n)$。 依此类推，直到第 $n$ 项：对第 $n$ 个因式求导，其余因式不变，得 $(e^x - 1)(e^{2x} - 2)\cdots(e^{(n-1)x} - (n-1)) \cdot n e^{nx}$。 因此，$f'(x)$ 的表达式为： $$f'(x) = e^x(e^{2x}-2)(e^{3x}-3)\cdots(e^{nx}-n) + (e^x-1)\cdot 2e^{2x}(e^{3x}-3)\cdots(e^{nx}-n) + \cdots + (e^x-1)(e^{2x}-2)\cdots(e^{(n-1)x}-(n-1))\cdot n e^{nx}.$$ 这就是应用乘积求导法则后得到的导数表达式，为后续步骤（例如代入特定值求 $f'(0)$）做好准备。

在本题中，我们需要分析表达式在$x=0$处的取值。首先，注意到当$x=0$时，$e^0-1=0$，因此所有含有因子$(e^x-1)$的项在$x=0$时均为零。具体地，表达式中的每一项除了第一项外，都包含至少一个$(e^x-1)$因子。第一项的形式为： $$ (e^x-1)(e^x-2)\cdots(e^x-n) $$ 但这里需要特别注意：实际上，第一项是$(e^x-1)(e^x-2)\cdots(e^x-n)$，它本身也含有$(e^x-1)$因子，因此当$x=0$时，第一项也为零。然而，根据题目给出的步骤概要，这里所说的“第一项”指的是展开式中不含$(e^x-1)$因子的项，即常数项。实际上，在展开式中，只有常数项（即所有$(e^x-1)$因子都不出现的那一项）在$x=0$时非零。这个常数项来自于将$(e^x-1)(e^x-2)\cdots(e^x-n)$展开后，取每个因式中的常数部分相乘，即： $$ (0-1)(0-2)\cdots(0-n) = (-1)(-2)\cdots(-n) = (-1)^n n! $$ 但步骤概要中说的是“只有第一项不含$(e^x-1)$因子，且其余因式在$x=0$时值为$(1-2)(1-3)\cdots(1-n)=(-1)(-2)\cdots(-(n-1))$”。这里可能存在表述上的差异。实际上，更合理的理解是：考虑表达式 $$ \frac{(e^x-1)(e^x-2)\cdots(e^x-n)}{(e^x-1)} $$ 在$x=0$时的极限，此时分子中除$(e^x-1)$外的因式在$x=0$时取值为$(0-2)(0-3)\cdots(0-n)=(-2)(-3)\cdots(-n)=(-1)^{n-1}(n-1)!$。但根据步骤概要，我们直接分析各项在$x=0$时的值： - 含有$(e^x-1)$因子的项：当$x=0$时，$e^x-1=0$，所以这些项均为0。 - 不含$(e^x-1)$因子的项：只有一项，它来自于所有因式中取常数项（即每个$(e^x-k)$中取$-k$），但注意第一个因式是$(e^x-1)$，它的常数项是$-1$，所以该项为$(-1)(-2)\cdots(-n)=(-1)^n n!$。然而步骤概要中给出的值是$(1-2)(1-3)\cdots(1-n)=(-1)(-2)\cdots(-(n-1))$，这实际上对应的是将$(e^x-1)$因子去掉后，其余因式在$x=0$时的值，即$(1-2)(1-3)\cdots(1-n)$。因此，综合来看，在$x=0$时，整个表达式的值等于这个非零项，即 $$ (-1)(-2)\cdots(-(n-1)) = (-1)^{n-1}(n-1)! $$ （注意：这里假设第一项不含$(e^x-1)$因子，实际上是指展开式中常数项对应的部分。）

我们需要计算第一项 $e^x \cdot (e^{2x} - 2)(e^{3x} - 3) \cdots (e^{nx} - n)$ 在 $x = 0$ 处的值。 首先，当 $x = 0$ 时，$e^x = e^0 = 1$。 对于乘积中的每个因子 $(e^{kx} - k)$，其中 $k = 2, 3, \dots, n$，代入 $x = 0$ 得 $e^{k \cdot 0} - k = e^0 - k = 1 - k$。 因此，整个乘积变为： $$1 \cdot (1-2)(1-3) \cdots (1-n) = (1-2)(1-3) \cdots (1-n).$$ 计算每个括号的值： - $1-2 = -1$ - $1-3 = -2$ - $1-4 = -3$ - $\dots$ - $1-n = -(n-1)$ 所以乘积为 $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdots \cdot (-(n-1))$。 这相当于 $(-1)^{n-1}$ 乘以 $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1)$，即 $(-1)^{n-1} \cdot (n-1)!$。 因此，第一项在 $x=0$ 处的值为 $(-1)^{n-1} (n-1)!$。

由前一步骤已知，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数表达式为 $f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1}(n-1)!$。现在要求 $f'(0)$，即 $n=1$ 时的导数值。代入 $n=1$ 得：$f'(0) = (-1)^{1-1}(1-1)! = (-1)^0 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1$。因此 $f'(0)=1$。对照题目选项，选项（A）为 $(-1)^{n-1}(n-1)!$，当 $n=1$ 时即为 $1$，故正确选项为（A）。验证：对于 $n=1$，$(-1)^{0} \cdot 0! = 1$，与直接计算结果一致，确认无误。