2012年考研数学一第10题

首先，观察被开方数 $2x - x^2$。为了将其转化为完全平方形式，我们提取负号并配方： $$2x - x^2 = -(x^2 - 2x)$$ 对括号内的二次式 $x^2 - 2x$ 进行配方：加上一次项系数一半的平方 $1^2 = 1$，再减去 $1$，保持等式成立： $$x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$$ 因此， $$2x - x^2 = -[(x-1)^2 - 1] = 1 - (x-1)^2$$ 于是，根式可化简为： $$\sqrt{2x - x^2} = \sqrt{1 - (x-1)^2}$$ 这一步的关键是将原表达式转化为标准形式 $\sqrt{1 - u^2}$，其中 $u = x-1$，这为后续使用三角代换（如 $u = \sin t$ 或 $u = \cos t$）或几何意义（半圆面积）奠定了基础。注意，配方后根号内的表达式必须非负，即 $1 - (x-1)^2 \ge 0$，解得 $0 \le x \le 2$，这是积分区间隐含的条件。

令 $t = x - 1$，则 $x = t + 1$，$dx = dt$。当 $x = 0$ 时，$t = -1$；当 $x = 2$ 时，$t = 1$。原积分化为： $$ \int_{0}^{2} x \sqrt{1 - (x-1)^2} \, dx = \int_{-1}^{1} (t+1) \sqrt{1 - t^2} \, dt. $$ 将被积函数拆分为两项： $$ \int_{-1}^{1} (t+1) \sqrt{1 - t^2} \, dt = \int_{-1}^{1} t \sqrt{1 - t^2} \, dt + \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - t^2} \, dt. $$ 第一项 $\int_{-1}^{1} t \sqrt{1 - t^2} \, dt$ 的被积函数 $t \sqrt{1 - t^2}$ 是奇函数（因为 $t$ 是奇函数，$\sqrt{1 - t^2}$ 是偶函数，乘积为奇函数），积分区间关于原点对称，故该项为 $0$。因此原积分简化为： $$ \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - t^2} \, dt. $$ 该积分表示半径为 $1$ 的半圆面积（上半圆），其值为 $\frac{\pi}{2}$。

将上一步得到的积分拆分为两部分： $$ \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^{2}} \, dt = \int_{-1}^{1} t\sqrt{1-t^{2}} \, dt + \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^{2}} \, dt. $$ 首先考虑第一部分 $\int_{-1}^{1} t\sqrt{1-t^{2}} \, dt$。令 $f(t) = t\sqrt{1-t^{2}}$，则 $f(-t) = (-t)\sqrt{1-(-t)^{2}} = -t\sqrt{1-t^{2}} = -f(t)$，因此 $f(t)$ 是奇函数。根据奇函数在对称区间 $[-1,1]$ 上的积分性质，有 $$ \int_{-1}^{1} t\sqrt{1-t^{2}} \, dt = 0. $$ 第二部分 $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^{2}} \, dt$ 的被积函数 $g(t) = \sqrt{1-t^{2}}$ 是偶函数（因为 $g(-t) = \sqrt{1-(-t)^{2}} = \sqrt{1-t^{2}} = g(t)$），所以可以利用偶函数的积分性质将其化为 $[0,1]$ 上的积分： $$ \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^{2}} \, dt = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-t^{2}} \, dt. $$ 因此，原积分简化为 $$ \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^{2}} \, dt = 0 + 2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-t^{2}} \, dt = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-t^{2}} \, dt. $$

当前步骤需要计算积分 $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^{2}} \, dt$。该积分在几何上表示半径为1的半圆面积。被积函数 $y = \sqrt{1-t^{2}}$ 是圆心在原点、半径为1的上半圆周的方程，积分区间 $[-1,1]$ 对应半圆的直径。因此，该定积分的值等于半径为1的半圆面积。半径为1的圆面积为 $\pi \cdot 1^{2} = \pi$，半圆面积为 $\frac{\pi}{2}$。所以 $$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^{2}} \, dt = \frac{\pi}{2}.$$ 这一结果也可以通过三角换元 $t = \sin \theta$ 验证：当 $t$ 从 $-1$ 到 $1$ 时，$\theta$ 从 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$，$dt = \cos \theta \, d\theta$，$\sqrt{1-t^{2}} = \cos \theta$，积分变为 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{2}\theta \, d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1+\cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{\pi}{2}$。至此，剩余积分计算完毕。

前四步已经将原积分拆分为两个部分：第一部分为 $0$，第二部分为 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$。现在计算第二部分积分。 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$。这是一个标准积分，其原函数为 $\arcsin x$。因此： $$ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x \Big|_{0}^{1} = \arcsin 1 - \arcsin 0 = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}. $$ 将两部分相加：原积分 $= 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$。 **验证**：可以通过数值积分或对称性验证结果。例如，被积函数在对称区间上的奇偶性分析表明，奇函数部分积分为零，偶函数部分积分结果为 $\frac{\pi}{2}$，与计算结果一致。 因此，原积分的最终结果为 $\frac{\pi}{2}$。