2012年考研数学一第9题

已知第二个方程为 $f''(x) + f(x) = 2e^x$，这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。其右端项为指数函数 $2e^x$，且指数系数为 $1$。对于此类方程，通常可设特解形式与右端函数相同，即 $f_p(x) = Ae^x$，其中 $A$ 为待定常数。将 $f_p(x) = Ae^x$ 代入方程：首先计算一阶导数 $f_p'(x) = Ae^x$，二阶导数 $f_p''(x) = Ae^x$。代入得 $Ae^x + Ae^x = 2Ae^x$，令其等于右端 $2e^x$，即 $2Ae^x = 2e^x$，比较系数得 $A = 1$。因此特解为 $f_p(x) = e^x$。注意，此处需验证 $e^x$ 是否满足对应的齐次方程 $f''(x) + f(x) = 0$。齐次方程的特征方程为 $r^2 + 1 = 0$，解得 $r = \pm i$，故齐次通解为 $C_1 \cos x + C_2 \sin x$，而 $e^x$ 不是齐次解，因此特解形式正确。

将猜测的解 $f(x)=e^x$ 代入第一个方程 $f''(x)+f'(x)-2f(x)=0$ 中进行验证。 首先计算一阶导数：$f'(x)=e^x$。 然后计算二阶导数：$f''(x)=e^x$。 代入方程左边： $$f''(x)+f'(x)-2f(x)=e^x+e^x-2e^x=2e^x-2e^x=0.$$ 因此，左边等于右边 $0$，方程成立。这说明 $f(x)=e^x$ 确实是第一个方程的解。

由前两步的分析可知，函数$f(x)=e^x$同时满足以下两个条件： 1. 由微分方程$f'(x)=f(x)$及初始条件$f(0)=1$解得$f(x)=e^x$。 2. 由积分方程$\int_0^1 f(x)\,dx = e-1$验证，$\int_0^1 e^x\,dx = e-1$成立。 因此，$f(x)=e^x$是同时满足题目所给微分方程和积分条件的唯一函数。 **最终答案验证**： - 微分方程验证：$f'(x)=e^x=f(x)$，且$f(0)=1$，满足。 - 积分验证：$\int_0^1 e^x\,dx = e^x\big|_0^1 = e-1$，满足。 故所求函数为$f(x)=e^x$。