2012年考研数学一第8题

设将长度为1的线段随机分成两段，其中一段的长度为$X$，另一段的长度为$Y$。由于线段的总长度为1，因此两段长度之和必须满足$X + Y = 1$。由此可得$Y = 1 - X$，即$X$与$Y$之间存在确定的线性关系。这一关系表明，一旦$X$的值确定，$Y$的值也随之唯一确定，因此问题中的随机性完全由$X$的分布决定。在实际问题中，通常假设$X$服从区间$[0,1]$上的均匀分布，即$X \sim U(0,1)$，其概率密度函数为$f_X(x) = 1$，$0 \leq x \leq 1$。由此，我们可以将两段长度$X$和$Y$的联合分布转化为仅关于$X$的一维分布，从而简化后续概率计算。

已知随机变量$X$与$Y$满足关系式$Y = -X + 1$，这是一个严格的线性函数关系。线性相关系数$\rho_{XY}$的定义为： $$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}$$ 其中$\text{Cov}(X, Y)$是协方差，$D(X)$和$D(Y)$分别是$X$和$Y$的方差。 由$Y = -X + 1$可得： - $E(Y) = -E(X) + 1$ - $Y - E(Y) = -(X - E(X))$ 因此协方差为： $$\text{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E[(X - E(X)) \cdot (-(X - E(X)))] = -E[(X - E(X))^2] = -D(X)$$ 方差关系： $$D(Y) = D(-X + 1) = D(-X) = D(X)$$ 代入相关系数公式： $$\rho_{XY} = \frac{-D(X)}{\sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(X)}} = \frac{-D(X)}{D(X)} = -1$$ 由于$\rho_{XY} = -1$，说明$X$与$Y$完全负相关，即存在严格的线性关系，且斜率为负。

在概率论与数理统计中，相关系数 $\rho_{XY}$ 是衡量两个随机变量 $X$ 与 $Y$ 之间线性相关程度的指标，其定义为 $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$。相关系数的取值范围为 $[-1,1]$，其中 $\rho_{XY}=1$ 表示完全正相关，$\rho_{XY}=-1$ 表示完全负相关，$\rho_{XY}=0$ 表示不相关。 本题中，已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 满足 $Y = -aX + b$，其中 $a>0$，$b$ 为常数。这是一个严格的线性关系，且斜率为负。根据相关系数的性质，当两个随机变量之间存在严格的线性关系时，相关系数的绝对值为1。具体地，若 $Y = kX + c$，则 $\rho_{XY} = \text{sgn}(k)$，即相关系数的符号与斜率 $k$ 的符号相同。 由于 $a>0$，所以 $-a<0$，因此 $Y$ 与 $X$ 之间是严格的负线性关系。于是相关系数 $\rho_{XY} = -1$。 验证：由协方差的性质，$\text{Cov}(X,Y) = \text{Cov}(X, -aX+b) = -a\,\text{Cov}(X,X) = -a\,D(X)$。而 $D(Y) = D(-aX+b) = a^2 D(X)$。代入相关系数公式得： $$ \rho_{XY} = \frac{-a\,D(X)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{a^2 D(X)}} = \frac{-a\,D(X)}{a\,D(X)} = -1. $$ 因此，$X$ 与 $Y$ 的相关系数为 $-1$，对应选项（D）。