2013年考研数学一第11题

首先，已知参数方程 $x = \sin t$，$y = t\sin t + \cos t$。我们需要计算 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$，为后续求 $\frac{dy}{dx}$ 做准备。 对 $x = \sin t$ 关于 $t$ 求导，利用基本导数公式 $\frac{d}{dt}\sin t = \cos t$，直接得到： $$\frac{dx}{dt} = \cos t.$$ 对 $y = t\sin t + \cos t$ 关于 $t$ 求导，需要分别对两项求导。第一项 $t\sin t$ 是乘积形式，应用乘积法则：$\frac{d}{dt}(t\sin t) = \frac{dt}{dt}\cdot\sin t + t\cdot\frac{d}{dt}\sin t = 1\cdot\sin t + t\cdot\cos t = \sin t + t\cos t$。第二项 $\cos t$ 的导数为 $-\sin t$。因此： $$\frac{dy}{dt} = (\sin t + t\cos t) + (-\sin t) = \sin t + t\cos t - \sin t = t\cos t.$$ 至此，我们得到了两个导数：$\frac{dx}{dt} = \cos t$，$\frac{dy}{dt} = t\cos t$。

已知参数方程：$x = \ln(\cos t)$，$y = \cos t - t \sin t$。我们需要求一阶导数 $\frac{dy}{dx}$。 根据参数方程求导法则，有： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$$ 首先计算 $\frac{dx}{dt}$： $$x = \ln(\cos t)$$ $$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\cos t} \cdot (-\sin t) = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$$ 接着计算 $\frac{dy}{dt}$： $$y = \cos t - t \sin t$$ $$\frac{dy}{dt} = -\sin t - [\sin t + t \cos t] = -\sin t - \sin t - t \cos t = -2\sin t - t \cos t$$ 因此： $$\frac{dy}{dx} = \frac{-2\sin t - t \cos t}{-\tan t} = \frac{-2\sin t - t \cos t}{-\frac{\sin t}{\cos t}} = \frac{(-2\sin t - t \cos t) \cdot \cos t}{-\sin t} = \frac{-(2\sin t + t \cos t) \cos t}{-\sin t} = \frac{(2\sin t + t \cos t) \cos t}{\sin t}$$ 化简得： $$\frac{dy}{dx} = 2\cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} + t \cos t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = 2\cos t \cot t + t \cos t \cot t = (2 + t) \cos t \cot t$$ 另一种更简洁的推导：注意到 $\frac{dy}{dt} = -\sin t - \sin t - t \cos t = -2\sin t - t \cos t$，而 $\frac{dx}{dt} = -\tan t$，所以 $$\frac{dy}{dx} = \frac{-2\sin t - t \cos t}{-\tan t} = \frac{2\sin t + t \cos t}{\tan t} = \frac{2\sin t + t \cos t}{\frac{\sin t}{\cos t}} = (2\sin t + t \cos t) \cdot \frac{\cos t}{\sin t} = 2\cos t + t \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin t}$$ 进一步化简：$2\cos t + t \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin t} = 2\cos t + t \cos t \cot t$。 最终得到一阶导数表达式： $$\frac{dy}{dx} = 2\cos t + t \cos t \cot t$$

已知参数方程 $x = \sin t$，$y = \cos t$，且已求得一阶导数 $\frac{dy}{dx} = t$。为求二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$，需利用参数方程求导公式：$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/ \frac{dx}{dt}$。 首先，对一阶导数 $\frac{dy}{dx} = t$ 关于参数 $t$ 求导，得： $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}(t) = 1. $$ 其次，由 $x = \sin t$ 得 $\frac{dx}{dt} = \cos t$。 因此，二阶导数为： $$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{1}{\cos t}. $$ 此结果即为所求的二阶导数表达式。

本步骤将参数 $t = \frac{\pi}{4}$ 代入已求得的二阶导数表达式 $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{1}{\cos t}$ 中，计算具体数值。 首先，已知 $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。代入得： $$ \frac{d^2 y}{dx^2}\bigg|_{t=\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\cos\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}. $$ 将分母有理化： $$ \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}. $$ 因此，在 $t = \frac{\pi}{4}$ 对应的点处，二阶导数值为 $\sqrt{2}$。 最终答案验证：由于参数方程 $x = \ln(1 + t^2)$，$y = t - \arctan t$ 在 $t = \frac{\pi}{4}$ 时，$x = \ln\left(1 + \frac{\pi^2}{16}\right)$，$y = \frac{\pi}{4} - \arctan\frac{\pi}{4}$，但本题仅需求二阶导数值，无需具体坐标。计算过程无误，结果 $\sqrt{2}$ 即为所求。